Cher Pythagore...

Posté par Victor Victor

Déterminer les trois dimensions entières d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à 2004 et dont la somme des chiffres de l'aire est égale à 24.

Bon courage.

Clôture de l'énigme : Vendredi soir.

Posté par dad97 dad97

Bonsoir,

On sait que le triangle ayant pour longueurs de cotés 3,4 et 5 est rectangle.
Soit k un entier avec la réciproque du théorème de Pythagore on montre que le triangle ayant pour longueur 3k, 4k et 5k sera rectangle.

Le périmètre d'un tel triangle est 3k+4k+5k=12k
2004=12*167

donc pour k=167 les deux premières conditions sont remplies.
Verifions la dernière exigence demandée :
L'aire de ce triangle est est alors

et la somme des chiffres de ce nombre est égale à 1+6+7+3+3+4=24

les trois dimensions entières d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à 2004 et dont la somme des chiffres de l'aire est égale à 24 sont 501, 668 et 835.

Salut

Posté par pinotte (invité)

Les dimensions du triangle sont de 501, 668 et 835 unités.

Le théorème de Pythagore est respecté: 501² + 668² = 835².

Le périmètre est de 501 + 668 + 835 = 2004

L'aire du triangle est de = 167 334 u².

Si on additionne les chiffres de l'aire, on obtient:
1 + 6 + 7 + 3 + 3 + 4 = 24.

Posté par johanna11 (invité)

MMHH CHER¨PAS

Posté par johanna11 (invité)

SOMME DES CHIFFRES DE L'aire:10(hypothénuse)+8(longueure)+4(largeur)
PERIMETRE: (2000+2008)/2

Posté par minotaure (invité)

salut
j'ai trouvé :
501
668
835


ce qui donne pour le perimetre : 501+668+835=2004
l'aire : 501*668/2=167334
et 1+6+7+3+3+4=24

comme il n'est pas precisé de donner un raisonnement...

Posté par franz franz

Bonjour Victor,

On peut montrer (avec un peu d'arithmétique à la clé) qu'un triangle de côtés a, b et c entiers est rectangle (d'hypothénuse c), alors il existe un triplet d'entiers (k,m,n) tels que

a = 2 k.m.n
b = k(m²-n²)      (m>n)
c = k (m²+n²)

Le périmètre du triangle vaut
a+b+c = k(2 m n + m²-n² + m²+n²) = 2 k m (m+n) = 2004

Le triplet d'entiers (k,m,n) vérifie donc
k m (m+n) = 1002 = 2.3.167

or n < m < m+n < 2m
m étant inférieur à (m+n) ne peut pas prendre la valeur 167. Les seules valeurs possibles pour m sont 1, 2 ou 3.
Si m = 1,  1 < m+n < 2  impossible
Si m = 3,  3 < m+n < 6  impossible (1002 n'a pas de 4 ou 5 comme diviseur)
Si m = 2, m+n peut prendre la valeur 3 d'où n = 1 et k = 167.

En résumé le triplet (k,m,n) = (167,2,1) convient.
Il conduit à des valeurs de
a = 2 k.m.n = 4*167 = 668
b = k(m²-n²) = 3*167 = 501    
c = k(m²+n²) =5*167 = 835  

On vérifie que
le périmètre du triangle vaut 668+501+835 = 2004 et que
son aire vaut 668*501/2 = 167334 dont la somme des chiffres vaut 24

Posté par mizoun (invité)

soit triangle rectangle abc avec c  hypotenus
a b et c entier ssi a+b+c=3k+4k+5k=12k
par hypothese a+b+c=2004
donc k=2004/12=167
les trois cotés du triangle ont donc pour longueur
3x167=501
4x167=668
5x167=835
verification: aire=ab/2
aire=501x668/2
aire=167334
or 1+6+7+3+3+4=24
CQFD

Posté par claireCW (invité)

501, 668, 835

Posté par Victor Victor

Bravo à tous pour les bonnes réponses.

Pour la justification, celle de franz est excellente...

@+

Posté par franz franz

Merci, merci