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Niveau Maths sup
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polynome

Posté par
brocoli
19-02-08 à 18:38

Bonsoir, j'ai un problème avec un exercice de maths, et j'aimerai avoir de l'aide!

1) Quelles sont les racines du polynome X^2 - 2X.cos()+1


= 42cos2()-4

-pour = k on a =0
l'unique racine est cos()

-pour k on a <0
On a deux solutions complexes
r1 = cos()+i sqrt{1-cos^2(\theta)}
r2 = cos()-i sqrt{1-cos^2(\theta)}

2) Quelles sont les racines du polynome \bigprod_{k=0}^{n-1}(x^2 - 2xcos(2k\Pi/n) + 1) ?
En déduire l'égalité (n-1)2 = \bigprod_{k=0}^{n-1}(\alpha^2 - 2\alpha cos(2k\Pi/n) + 1) pour tout réel alpha


Pour moi les racines du polynome ce sont les racines de chaque polynome du produit ce qui correspond au solutions calculées avant, non?

Puis pour la déduction je 'narrive pas.

Si quelqu'un a compris, je ne dirai pas non a un coup de pouce!

Posté par
watik
re : polynome 19-02-08 à 19:02

bonjour

T=Téta

Délat=4cos²T-4
     =-4sin²T <0
les solutions sont donc complexes et conjuguées puisque les coefficients sont réels.

X1=exp(iT) et X2=exp(-iT)

2) Tk=2kPi/n   les recines sont donc

X1(k,n)=exp(i2kPi/n) et X2(k,n)=exp(-i2kPi/n) kE{0,n-1)

il y a donc 2n racines

Considère maintenant le polynome P(X)=(X^n-1)²

Tu as P(X1(k,n))=(exp(i2kPi/n)^n  - 1)²
                =(exp(i2kPi) - 1)²
                = (1-1)²
                =0
donc les n X1(k,n) sont des zéros de P(X)
tu montreras facilement que les X2(k,n) sont aussi des zéros de P(X)

donc P(X) admet 2n racine : n X1(k,n) et n X2(k,n)

comme degP(x)=2n

donc P(X)=C*II(X²-2Xcos(T(k,n))+1)

C est une constante
P(0)=(0-1)²=1=C*1.1...1   n fois
             =C
donc C=1

donc P(X)=II(X²-2Xcos(T(k,n))+1)

Posté par
brocoli
re : polynome 20-02-08 à 10:07

Salut watik,

Enfait je ne suis pas sur d'avoir compris le passage avec la constante C. Tu l'as ajouter afin d'être sur d'avoir un degré = 2n pour le produit?

Posté par
watik
re : polynome 20-02-08 à 13:33

non

c'est parce que deux polynomes qui ont les m^mes zéros de même multiplicité sont égaux à une constantes multiplicatice près.

c'est pourquoi j'ai introduit la constante multiplicative C que j'ai montré égale à 1

Posté par
lafol Moderateur
re : polynome 20-02-08 à 16:25

Bonjour

pour la question 1, sans delta : X^2 - 2X.\cos(\theta)+1 = X^2-2X\cos(\theta)+\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)= (X-\cos(\theta))^2+\sin^2(\theta) = (X-\cos(\theta)+i\sin(\theta))(X-\cos(\theta)-i\sin(\theta))

Posté par
brocoli
re : polynome 21-02-08 à 17:35

bonjour,

lafol : ta méthode est très jolie je trouve. Le résultat que tu as a la fin c'est une décomposition du polynome initial en produit de polynomes irréductibles?


Quelques questions plus loin je rebloque :

On considère l'intégrale I(alpha)=\Bigint_{0}^{2\Pi}ln(1-2.\alpha.cos(t) + \alpha^2)dt pour 0<alpha1. Calculer I(alpha) à l'aide de sommes de Riemann.

CE que j'ai essayer de faire, c'est de retrouver quelque chose qui ressemble a I. Pour cela j'ai appliqué la fonction "ln" a \Bigprod_{k=0}^{n-1}(\alpha^2-2.\alpha.cos(2.k.\Pi/n) + 1) afin de transformer le produit en somme de ln. Mais je ne vois pas comment reconnaitre une somme de Riemann ensuite :s.

j'ai ensuite appliqué le ln à (n-1)² mais là encore je ne vois pas comment continuer.

Posté par
jeanseb
re : polynome 21-02-08 à 20:01

Bonsoir

Il faut utiliser la décomposition de lafol, pour avoir des ei et des e-i que tu pourras sommer.

Le résultat est si mes souvenirs sont bons, 0 pour a entre 0 et 1 et un truc genre 2/a . ln2  pour a > 1.

Posté par
brocoli
re : polynome 21-02-08 à 21:55

J'ai suivi ton conseil, et voila ce que j'obtiens

\bigprod_{k=0}^{n-1}(a - cos(2.k.\Pi/n)+i.sin(2.k.\Pi/n)).(a - cos(2.k.\Pi/n)-i.sin(2.k.\Pi/n)) on utilisant ln j'obtiens

\bigsum_{k=0}^{n-1}ln(a - cos(2.k.\Pi/n)+i.sin(2.k.\Pi/n))+\bigsum_{k=0}^{n-1}ln(a - cos(2.k.\Pi/n)-i.sin(2.k.\Pi/n))
= \bigsum_{k=0}^{n-1}ln(a - e^{2.k.\Pi/n}) + \bigsum_{k=0}^{n-1}ln(a - e^{-2.k.\Pi/n})
= \bigsum_{k=0}^{n-1}ln(a - (-1)^n) + \bigsum_{k=0}^{n-1}ln(a - (-1)^{-n})

Après quand je test cette égalité avec maple, il me dit que c'est faux.


Vu que je bloquais j'ai essayer de remplace la factorisation de lafol dans l'intégrale, mais je me retrouve donc a calculer des intégrales complexes hors de ma portée. (J'ai vérifié la solution a maple)

Posté par
brocoli
re : polynome 22-02-08 à 13:04

Je n'arrive vraiment pas a reconnaitre une somme de riemann dans les 2sommes que j'ai.

PS : j'ai oublié de mettre "i" dans mes exponentielles complexes dans l'avant derniere ligne de calcul.



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