Il faut lire .

Bonjour H_aldnoer

Un corps de rupture est un "plus petit" corps dans lequel P admet au moins une racine x. Soit Q le polynôme minimal de x. Comme P(x)=0, Q divise P et comme P est irréductible, Q=P donc P est bien le polynôme minimal de x.

Je ne vois pas ce qui te chagrine dans le fait que N=K[a] est un corps de rupture de P.

Bonjour Camélia,
je ne comprend pas pourquoi a ainsi défini est racine de P.

g est un isomorphisme et g(k)=k pour k dans K. Comme P(g^-1(x))=g^{-1}(P(x))=0.

Je n'ai pas suivi!
Pourquoi ?

De manière générale:soit un corps K, deux extensions L et N et un morphisme f de L dans N tel que f(k)=k pour k dans K, et P(X)=a₀+...a_nXⁿ à coefficients dans K. Alors pour x dans L:

Qu'appelle-t-on homomorphisme d'extension ?

Justement un morphisme qui ne bouge rien dans le plus petit corps.

Donc si je prend L/K et N/K deux extensions, un homomorphisme d'extension c'est une application de L dans N ?
Je n'ai pas la définition en fait!

Oui, c'est un morphisme de corps qui vaut l'identité sur K.

Très bien.
On a donc trois application ici :

l'homomorphisme : pourquoi est-il qualifié de naturelle ?
l'isomorphisme
est la dernière application qui est l'injection canonique il me semble , est-ce bien cela ?

Pour f c'est simplement la surjection canonique.
Si tu veux, mais le fameux lemme, disait qu'on peut choisir N contenant vraiment K. Tu as le droit d'introduire l'injection canonique, mais je vois mal l'utilité.

Enfin plutôt l'inclusion canonique?
Je voulais savoir aussi, on sait que g prolonge f mais pourquoi prolonge f aussi ?

Cad pourquoi ?

Comme on avait déjà f()=...

Ok, donc j'arrive maintenant au fait que a dans N ainsi défini est racine de P.
Pourquoi N=K[a] ?

Un corps de rupture de P est une extension E/K tel que P admet une a dans E et que E=K[a]
On applique cette définition avec E=N ?

Parceque tu as un isomorphisme entre K[x] et N qui envoye x sur a (ou a sur x, je ne sais plus)

On a un isomorphisme entre et (c'est g) non ?

Absolument!

On sait que si L/K est une extension, a un élément de L algébrique sur K, en posant P(X)=Irr(a,K,X), on a l'isomorphisme entre K[a] et K[X]/(P(X)).

Est-ce que cela vient de ce résultat que N=K[a] ?
Je ne comprend pas ... quand on montre que quelque chose est isomorphe à K[X]/(P(X)), alors ce quelque chose est K[a] ??

Ce quelque chose est de la forme K[l'image de x] (n'oublie pas que x est la classe de X dans le quotient.

Non mais N, on le pose N=K[a], ou il faut le prouver ?

Non, si j'ai bien suivi, N est celui du fameux lemme. Il existe et il est isomorphe à K[X]/(P) d'après le lemme. Ensuite on appelle a l'image réciproque de x=classe(X) et c'est là que l'on dit que puisque K[X]/(P)=K[x], on a N=K[a] et on vérifie que a est racine de P.

D'ou vient K[X]/(P)=K[x] ??

Oh là là! C'est la seule chose à vraiment comprendre dans ce fatras...

Un élément de K[X]/(P) est la classe d'un polynôme Q(X), c'est donc quelque chose de la forme Q(x).

Je suis désolé mais je ne le vois pas!

Bon, oublie tout ça. On revient aux basiques. Le polynôme X²+1 est irréductible sur R et je considère L=R[X]/X²+1. Il s'agit des classes de congruence modulo (X²+1) et j'appelle x la classe de X. Soit s la surjection canonique qui à un polynôme fait correspondre sa classe. On a donc s(X)=x et t et u sont des réels distincts, ils ont des classes distinctes; je fais l'abus habituel de notation, qui consiste à noter t la classe du polynôme constant t. On a donc s(t)=t pour t réel et à ce moment on a identifié R à un sous-corps de L.

Maintenant on a s(P(X))=P(x) pour tout polynôme P. Ceci prouve déjà que L=R[x].

Comme s(X²+1)=x²+1=0, x est racine dans L de X²+1. Maintenant je sais que L est un corps de rupture de X²+1 sur R.

Soit A un polynôme quelconque. Par division euclidienne on a
A(X)=Q(X)(X²+1)+aX+b.

En prenant les classes, A(x)=ax+b donc tout élément de L s'écrit ax+b, avec x²+1=0.

Je te laisse le plaisir de prouver que L est isomorphe à C.

_{Et maintenant je m'en vais... J'ai mis exprès pour toi et lolo une amusette en détente}

On a donc toujours que K[X]/(P(X))=K[s(X)] si s désigne la surjection canonique de K[X] dans K[X]/(P(X)) ?

(ps: ça signifie quoi "être isomorphe comme extension de K" ?)

Deux corps L et N sont isomorphes comme extension de K ça signifie que L et N sont des extensions de K (soit donc L/K et N/K) et il existe un isomorphisme entre les deux ??

l'isomorphisme en question doit en plus être u
n K-isomorphisme , c'est à dire sa restriction à  K  est l'identité.

pour k dans K ?

Dans le cas général, si deg P(X)=d et P(a)=0, a-t-on bien que {1,a,...,a^d-1} est une base de ?

Hmmm en fait une base de K[X]/P serait plutot 1,X,...,X^{d-1}, a n'a rien à faire la dedans.

dans le message précédent si on veut préciser c'est  classe(1), classe(X),..., classe(X^(d-1))

Oui, en fait je pense que j'ai confondu :

soit P(X) dans K[X] de degré d tel que P(a)=0.
une base de K[a] est {1,a,...,a^d-1}
une base de K[X]/(P(X)) est {1,X,...,X^d-1}

c'est bon ?

Pour la base de K[X]/P oui, pour K[a] il faut en plus que P soit le polynome minimal de a.

Ok.
Mais dans K[X]/(P(X)), P(X) est aussi le polynôme minimal non ?

Le polynome minimal de quoi?

Ah oui, c'est juste un polynôme irréductible ?

Y a même pas besoin qu'il soit irreductible.

Le fait qu'il soit irréductible nous apporte quoi comme information ?
Que K[X]/(P) est en plus dans ce cas un corps ?

Exactement.

Ok, mais que P soit ou non irréductible, K[X]/P sera toujours un K-ev de dimension le degré de P ?

oui