ce ne doit pas etre alors mais plutot une equivalence

Bonsoir,

J'imagine que E est de dimension finie...

- Montre que Ker(f) C Ker(fof) (tjs vrai)
- Soit x dans Ker(f)inter Im(f) et x non nul
il existe t non nul tel que x=f(t) et f(x)=0 donc fof(t)=0 donc t est dans Ker(f²) mais pas dans Ker(f)
Bref, les noyaux n'ont pas la même dimension donc les images de f et f² non plus (thm du rang), donc les images ne sont pas égales...contradiction (enfin faut rédiger cela proprement)

Apres, théorème du rang et on a E=Ker(f)+Im(f)

En fait on a pas encore fait ce théorème du rang. J'imagine qu'il y a une autre méthode non ?

On prend quelconque appartenant à alors tel que

élément de E.

Alors donc avec élément de

Pour la deuxième inclusion, je ne vois pas ce qu'il faut faire.

et sont deux sous-espaces vectoriels donc est aussi un sous espace vectoriel

Donc pour tout appartenant à alors appartient à

est ce que ce raisonnement est juste ?

ker(f) + im(f) = {a + b | a dans l'image et b dans le noyau} donc c'est d'office inclu à E car E est un

vectoriel et x + y appartient à E pour tout x,y de E.

merci maths-rix pour l'aide