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Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:16

Un amphi avec lui, ça doit être bien cool.
Préviens moi quand tu passe de l'autre coté du bureau kaiser!!

Posté par
robby3re : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:17

je suis pret à faire le voyage moi!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:18

Citation :
Préviens moi quand tu passe de l'autre coté du bureau kaiser!!


si tout se passe "bien", dans environ 4, 5 ans !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:20

Moi aussi je viens à son cours pour me remettre à niveau en équa diff

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:23

Tiens, salut Cauchy, ça fait un bail !

Kaiser

Posté par
robby3re : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:25

Bohh mais les "champions" sont de retours pour une soirée!!

4 ou 5 ans!!!:o
d'ici là...

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:27

robby > et oui ! (sans compter cette année, il reste encore le M2 et 3 ans de thèse).

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:31

Oui ça faisait un bail, petite semaine de vacances la

Tu le fais ou ton M2 l'an prochain?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:36

tu vas rire : absolument aucune idée !

Pour revenir à l'exo : si X tend vers l'infini, raisonner par l'absurde, considérer p tel que pour tout t supérieur à p, \Large{\phi_a(t)\ge 1} et intégrer l'équation entre p et t.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:37

Ca va je suis pas seul alors

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:37

Bienvenue au club !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:39

Bon, sur ce, je te laisse !
@+

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 00:48

Bonne nuit à la prochaine

Posté par
robby3re : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 11:35

Citation :
Tu le fais ou ton M2 l'an prochain?

>Si vous savez pas ou allez,y'a Bordeaux 1

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 15:13

Bonjour a tous!
kaiser, je ne comprend pas ton idée!

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:33

H_aldnoer > On va adopter une autre approche. Raisonne par l'absurde en supposant que \Large{l=\infty} et montre alors que \Large{t\mapsto e^{-\phi_{a}(t)}} est intégrable au voisinage de \Large{+\infty} (sans utiliser l'équation différentielle).
Ensuite, essaie d'obtenir une contradiction (cette fois-ci, en utilisant l'équation différentielle).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:36

robby >

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:37

on a donc que \lim_{t\to +\infty} \phi_a(t)=+\infty (en supposant l ainsi).
on montre que e^{-\phi_a(t)}=o(\frac{1}{t^2}) donc on a bien l'intégrabilité en +\infty ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:39

Au temps pour moi : montre que \Large{t\mapsto%20e^{-t\phi_{a}(t)}} est intégrable.

Sinon, après correction, comment montrerais-tu que c'est effectivement un \Large{o(\frac{1}{t^2})} ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:50

Lorsque t tend vers +\infty alors (t tend vers +\infty) et (\phi_a(t) tend vers +\infty) donc le produit aussi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:52

oui, et donc ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:53

donc t^2e^{-t\phi_a(t)} tend vers 0 lorsque t tend vers +\infty.
c'est donc bien un o(\frac{1}{t^2}).

c'est donc intégrable au voisinage de +\infty.

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 16:59

ça ne suffit pas de dire que ce qui est de l'exponentielle tend vers \Large{-\infty}.
Voici un contre-exemple : -ln(t) tend vers \Large{-\infty} mais \Large{\frac{1}{t}=e^{-ln(t)}} n'est absolument pas intégrable (encore moins un \Large{o(\frac{1}{t^2})}).

Je te conseille de montrer que c'est un "petit o" de quelque chose d'autre dont tu sais que c'est intégrable (pense à une exponentielle).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:13

Je dois t'avouer que je ne comprend pas ton contre-exemplet.
t\phi_a(t) tend vers +\infty.
donc e^{-t\phi_a(t)} tend donc vers 0.
d'ou t^2e^{-t\phi_a(t)} tend vers 0 et donc e^{-t\phi_a(t)}=o(\frac{1}{t^2}) qui est intégrable.

j'ai toujours raisonné comme ça !

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:16

tu es en train de dire ça :

f(t) tend vers \Large{+\infty} donc \Large{e^{-f(t)}} tend vers 0 donc \Large{t^2e^{-f(t)}} tend vers 0.

En ce qui mon concerne, je dis que ce raisonnement est faux (en prenant f(t)=ln(t)).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:16

Bref, ça dépend de ce qui est dans l'exponentielle.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:17

non, dans ce raisonnement je montre que e^{-f(t)}=o(\frac{1}{t^2}).
il est clair que si f(t)=ln(t) ce n'est pas le cas !

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:21

mais justement, tu ne l'a pas montré (car tu as adopté le raisonnement que j'ai exposé dans mon premier message de 17h16, raisonnement qui est faux).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:23

Mais pour montrer que e^{-t\phi_{a}(t)}=o(\frac{1}{t^2}) il faut bien montrer que t^2e^{-t\phi_{a}(t)} tend vers 0 non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:25

Je suis d'accord (c'est même équivalent), mais je persiste à dire que les arguments que tu donne ne prouvent pas ce résultat.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:27

lol, tu es en train de m'affirmer que j'ai pas montrer \lim_{t\to +\infty} t^2e^{-t\phi_{a}(t)}=0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:37

toutafé !
En effet, tu dis \Large{e^{-t\phi_{a}(t)}} tend vers 0 (ça je suis d'accord) donc \Large{t^{2}e^{-t\phi_{a}(t)}} tend vers 0.

C'est le donc qui m'interpelle (il manque des arguments).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:38

mais l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:40

Attention tout de même à prendre des pincettes avec ce genre de raisonnement.
Encore une fois, ça dépend de ce qu'il y a dans l'exponentielle (Cf le contre-exemple avec le log donné plus haut).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:42

Plus précisément, si f(t) tend vers \Large{+\infty}, alors pour tout entier n, \Large{(f(t))^{n}e^{-f(t)}} tend vers 0 (il faut qu'il y ait la même expression dans l'exponentielle et en dehors de l'exponentielle. Dans le cas contraire, on ne peut absolument rien dire).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:45

C'est vrai que je l'utilise tous le temps ce raisonnement.
Mais quel est le résultat exact alors ?
Qu'est-ce qui peut y avoir dans l'exponentielle qui fasse que ... ?

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:47

Si f(t) tend vers +\infty alors e^{-f(t)}=o(\frac{1}{(f(t))^n}) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:51

oui, c'est bien ça.
Encore une fois, attention à ce genre de raisonnement (tu ne dois pas avoir deux choses "trop" différentes dans l'exponentielle et à l'extérieur de l'exponentielle).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:52

est-ce valable uniquement pour n entier ? si n est rationnel?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 17:53

pour le coup, ça marche avec n'importe quel réel.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:02

ok.
bon bref le \frac{1}{t^2} c'est pas ça.

mais a priori on ne connait pas l'intégrabilité de \frac{1}{-t\phi_a(t)} au voisinage de +\infty.

faut-il utiliser la "méthode" e^{-t\phi_{a}(t)}=o(\frac{1}{t^s}) avec s>1 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:05

Comme dit plus haut, je te conseille plutôt de montrer que c'est un petit o d'une certain exponentielle intégrable en l'infini (la plus simple possible).


Cela dit, je n'ai jamais affirmé que la fonction n'était pas un \Large{o(\frac{1}{t^2})}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:11

Lol, c'est un o(\frac{1}{t^2}) en définitive ou pas ?
Si oui comment le montrer ?

Il faut étudier plus attentivement la limite de t^{2}e^{-t\phi_{a}(t)} en +\infty ?

A-t-on que e^{-t\phi_{a}(t)}=o(e^{t^2}) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:14

C'est bien un "petit o" de 1/t², mais tu ne l'as pas montré.

En ce qui concerne ton exponentielle, elle n'est pas du tout intégrable. Que penses-tu de \Large{e^{-t}}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:16

Citation :
En ce qui concerne ton exponentielle, elle n'est pas du tout intégrable.

Elle n'est pas intégrable en +\infty c'est bien ça? car \lim_{t\to +\infty} e^{t^2}=+\infty ?

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:16

En fait j'avais initialement pensé à e^{-t\phi_{a}(t)}=o(e^{-t^2}).

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:21

1er message de 18h16 : oui
2ème message de 18h16 : OK, mais prend plutôt \Large{e^{-t}} (le t² est trop brutal et peux très bien ne pas fonctionner : imagine que \phi_{a}(t) soit un truc qui ressemble à \Large{\sqrt{t}})

Kaiser

P.S : je m'absente pendant environ une demi-heure.

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:38

Ok j'y suis.
j'ai bien e^{-t\phi_{a}(t)}=o(e^{-t})

la fonction t\to e^{-t} est continue donc localement intégrable, elle l'est deplus en 0 (e^{-t}=o(\frac{1}{\sqrt{t}})) et en +\infty (e^{-t}=o(\frac{1}{t^2})).

Posté par
kaiser Moderateurre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:42

deux petites choses :

1) pourquoi tu regardes en 0 ? la fonction y est continue.
2) en l'infini, tu n'est pas obligé de toujours regarder par rapport à 1/t². Tu sais que cette exponentielle est intégrable en \Large{+\infty} donc ça suffit largement.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Problème de Cauchy (calcul diff.) 24-02-08 à 18:44

1/ elle est continue en point donc intégrable en un voisinage de ce point ?
2/ je ne comprend pas.

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