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Problème de Cauchy (calcul diff.)
Bonjour,
j'ai beaucoup de difficultés sur le problème de calcul diff. que voici :
On examine le problème de Cauchy :
[ ;
]
sa solution maximale est et on a
avec
.
1/Dire pourquoi la fonction est strictement croissante et pourquoi la limite
existe dans
.
2/Supposons . Démontrer qu'on a
. En déduire l'existence de
,
tel que pour tout
de
on ait
.
3/Conclure qu'on a . Démontrer ensuite
(successivement supposer
, puis
).
4/En considérant la fonction définie sur l'intervalle opposé
par
, obtenir qu'on a
, l'existence de
et
.
---
Mes quelques réponses :
1/ est solution donc
donc
est strictement croissante.
pour l'existence de la limite, je n'arrive pas à le prouver.
2/ Je n'arrive à rien sur la limite, par contre me penser aux accroissements finis :
. Il faudrait montrer que le
non ?
3/ Les limites ne me parlent absolument pas, je ne vois pas comment m'y prendre.
Merci d'avance.
Non rassure toi!
C'est pour hub...
Le théorème des bouts oui surement, mais quelqu'un peut-il expliciter ?
Salut à tous
1) l'existence de la limite est donnée par un théorème qui porte bien son nom.
2) Comme le dit robby, c'est bien le théorème des bouts qu'il faut utiliser.
Pour la suite de la question, montre que la fonction est positive pour t assez grand et utilise l'équation pour montrer ce que tu proposait sur la dérivée.
3) Pour la première partie : encore théorème des bouts.
Kaiser
salut Kaiser
cet exo c'est un grand classique du théoreme des bouts
(H,dit à Hub de regarder le corrigé de l'épreuve de l'année derniere!
)
exactement ce qu'il faut : si tu as une fonction définie sur un intervalle et monotone (pas forcément continue) alors f admet des limites à droite et à gauche de tout point.
Kaiser
Oui, et c'est rassurant!
Après donc dans le 2/ on suppose que . Si
et alors (
,l) est un bout contenu dans la frontière de
qui est isomorphe à
.
Cette frontière est vide donc c'est absurde, ?
euh, je dois t'avouer que je n'ai pas trop saisi ce que tu as dit (je ne connais pas cette formulation).
J'aurais dis : En supposant , la solution doit nécessairement être non bornée à son voisinage donc l est nécessairement infini.
Kaiser
Kaiser c'est quoi qui cloche dans la formulation de H_aldnoer?...
Je n'ai pas dit que ce n'était pas bon mais seulement que je n'ai pas compris la formulation.
Que dis ton théorème des bouts en fait kaiser ?
tout d'abord, ce théorème port (au moins) 3 noms différents, les deux autres étant théorème d'explosion et théorème de sortie des compacts dont le nom est peut-être plus explicite.
En effet, il dit que l'on a l'alternative suivante pour la solution maximale d'une équation différentielle du premier ordre X'=F(t,X), t variant sur un certain intervalle I (avec les hypothèses qu'il faut sur F) :
1) soit la borne supérieure
2) soit elle est strictement inférieure et auquel cas, pour tout compact K, il existe un voisinage de
Kaiser
derniere question et je vous laisse travailler...
théorème d'explosion
>c'est de là que vient la notion d'explosion?
plutôt, le nom du théorème vient de la notion d'explosion (c'est assez "visuel" car ça explose que un certain truc tend vers l'infini).
Kaiser
Nous avons appris qu'un bout était un couple (a,l) et que ce bout est contenu dans la frontière ou
est un ouvert de
et
est un ouvert de E.
C'est totalement différent ?
En faisant le rapprochement, je commence vaguement à voir le truc et donc, oui c'est bien la même chose.
cela dit, si tu l'as appris comme ça, continue comme ça.
Kaiser
Je récupère la définition exacte que j'ai, et je te la posterai.
La suite, c'est bien le thm. des accroissements finis ?
oui, ça dépend de p : cette inégalité n'est pas forcément toujours vraie pour tout t. A quelle condition ?
Kaiser
il faut donc que .
On travaille sur l'intervalle avec
.
Donc il faut que .
est croissante. Il faut que
?
Quand je disais d'utiliser le théorème des bouts, je pensais à la preuve de (mais bon, ce que tu fais est mieux).
Pour la suite de la question, je réfléchis.
Kaiser
Je serais bien resté, mais je dois absolument partir (j'embauche demain à 8h!).
J'essaye d'avancer le problème de mon coté, et, si tu trouves quelque chose n'hésite pas.
(Je poste un exercice d'algèbre sur un autre topic.)
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