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exo d'olympiade

voici un exo d'olympiade
(il est difficile )
soient x et y deux réels
Montrer que
(x²+2)(y²+2)8xy

bonsoir Ikram
expression : (x²+2)(y²+2)-8xy
essayons de la convertir en un polynome en x
x²y²+2x²+2y²+4-8xy
= (y²+2)x² - (8y)x + (2y²+4)
le discriminant est 64y²-8y⁴-16y²-16y²-32
= -8y⁴+32y²-32
= -8*(y⁴-4y²+4) = -8*(y²-2)²
le discriminant est toujours négatif ou nul
si le discriminant est négatif, le polynome n'a pas de zéro; comme son coefficient en x² : y²+2 est toujours positif, le polynome est toujours positif et (x²+2)(y²+2)-8xy > 0, autrement dit : (x²+2)(y²+2) > 8x
si le discriminant est nul (quand y est égal à V2 ou à -V2), le polynome n'admet q'un zéro et est positif en dehors de ce zéro; de même pour l'expression : (x²+2)(y²+2)-8xy 0, autrement dit : (x²+2)(y²+2) 8x

bonjour  plumemeteore
j'ai trouvé une autre facon
en a
(a-b)²0
a²-2ab+b²0
a²+b²2ab
on remplace a par x
et b par 2
cela done: x²+2²22x
x²+222 x
la même chose pour y²+2
y²+222 y
alors
(x²+2)(y²+2)2*22*2*xy
(x²+2)(y²+2)4*2²*xy
(x²+2)(y²+2)8xy