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Niveau Maths sup
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groupes monogènes

Posté par
romu
26-02-08 à 02:44

Bonsoir,

je cherche le nom et la démonstration de cette propriété:

Citation :
Tout groupe abélien engendré par un nombre fini d'éléments est isomorphe à un produit direct de groupes monogènes.



Merci pour votre aide.

Posté par
Cauchy
re : groupes monogènes 26-02-08 à 03:00

Salut,

ca s'appelle le théorème de structure des groupes abéliens finis: regarde ici:

Posté par
romu
re : groupes monogènes 26-02-08 à 11:02

merci Cauchy

Posté par
romu
re : groupes monogènes 29-02-08 à 18:59

Encore une autre propriété dont je recherche le nom et une démonstration:

Citation :
Si G est un groupe abélien fini d'ordre n, pour tout diviseur d de n, il existe un élément d'ordre d.


merci

Posté par
Cauchy
re : groupes monogènes 29-02-08 à 19:17



Pour tout diviseur d tu es sûr? Vu que si d=n, ca entrainerait que tout groupe abélien est cyclique.

Posté par
romu
re : groupes monogènes 02-03-08 à 16:56

oui c'est vrai, il doit y avoir une coquille alors, ça doit être "pour tout diviseur strict d de n".

Posté par
Cauchy
re : groupes monogènes 02-03-08 à 17:52

Non plus regarde dans (Z/2Z)^3 avec d=4.

Pour tout diviseur premier semble plus raisonnable et la pas besoin que le groupe soit abélien.

Posté par
romu
re : groupes monogènes 02-03-08 à 18:04

ah oui effectivement, il y a un problème.

Je vais regarder ça, merci Cauchy.

Posté par
Cauchy
re : groupes monogènes 02-03-08 à 18:07

Ici :


Cependant pour un groupe abélien on peut le faire en utilisant le théorème de structure en effet G=Z/a1Z*....Z/arZ, soit p un diviseur premier de G alors p divise l'un des a_i.

Soit g un élément d'ordre p dans Z/aiZ alors (1,.....g,1,1,1) est d'ordre p dans G.



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