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Niveau Maths sup
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Reste de division euclidienne de polynome

Posté par
burner78
27-02-08 à 10:51

Bonjour,

J'ai un petit exo, ou je bloque.

Trouverle reste de la division euclidienne de P(X)= X101+X23+1 par A(X)=X2+X+1

La division normal est impossible ici , elle prendrait beaucoup trop de temps...


J'ai essayé en disant que le degres du reste est plus petit que 2 donc R=aX+b, mais pares je bloque, si vous pouvez me donner des pistes, merci

Posté par
veleda
re : Reste de division euclidienne de polynome 27-02-08 à 11:00

bonjour,
c'est exact pour le degré du reste
pour trouver a et b tu peux remarquer que A(j)=A(j²)=0 (j racine cubique de 1)
donc P(j)=A(j)Q(j)+R(j)=R(j)

Posté par
burner78
re : Reste de division euclidienne de polynome 27-02-08 à 11:25

heu j'ai pas trop compris

Posté par
veleda
re : Reste de division euclidienne de polynome 27-02-08 à 22:41

rappel:j3=1 et 1+j+j²=0
P(j)=A(j)Q(j)+aj+b mais A(j)=0 donc P(j)=aj+b  (1)
de même
P(j²)=A(j²)Q(j²)+R(j²) mais A(j²)=0 donc P(j²)=aj²+b (2)
on a donc deux équations pour déterminer (a,b)
en tenant compte du fait que j3=1, sauf erreur de ma part on trouve
(1) aj+b=2j²+1
(2)aj²+b=2j+1

ce qui donne a=-2 et b=-1

Posté par
burner78
re : Reste de division euclidienne de polynome 28-02-08 à 21:30

je comprend pas pourquoi A(j)=A(j²)=0


et ensuite, quand on a

P(j)=aj+b  (1)
P(j²)=aj²+b (2)

Comment vous arrivez a

(1) aj+b=2j²+1
(2)aj²+b=2j+1

J101=J²??


Puis je comprend même pas comment vous trouvea a et b, j'avoue que je suis paumé la

Posté par
veleda
re : Reste de division euclidienne de polynome 01-03-08 à 19:38

bonjour,
désolée j'ai eu une panne d'internet de plus de 24h
les solutions de x²+x+1=0 sont les complexes j etj² où j et j² sont racines cubiques de 1
pour simplifier P(j) et P(j²) tu utilises le fait que j est racine cubique de 1
101=99+2=3.33+2  tu sais que j3=1 donc j101=(j3)33.j²=j²
pour résoudre le système tu peux par exemple  former (1)-(2)  tu élimines ainsi b
a(j-j²)=2(j²-j) donc a=-2 tu en déduis ensuite b



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