Challenge n°38
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Challenge n°38
Posté le 11-11-04 à 20:08
Posté par 
puisea puisea 
Bonsoir tlm.
38è édition des challenges proposé par puisea :
Combien y a-t-il de groupe(s) de nombre entiers positifs consécutifs dont la somme égale 100 ?
Explications détaillées et argumentées nécessaire à la validité de la réponse proposée.
Bonne chance à tous
puisea puisea Bonsoir tlm.
38è édition des challenges proposé par puisea :
Combien y a-t-il de groupe(s) de nombre entiers positifs consécutifs dont la somme égale 100 ?
Explications détaillées et argumentées nécessaire à la validité de la réponse proposée.
Bonne chance à tous
re : Challenge n°38 Posté le 11-11-04 à 20:11
Posté le 11-11-04 à 20:11Posté par puisea puisea
Bon allé pour changer je mets la correction dès maintenant
...
Voici la correction détaillée de l'exo :
puisea puisea Bon allé pour changer je mets la correction dès maintenant
...Voici la correction détaillée de l'exo :
re : Challenge n°38 Posté le 11-11-04 à 22:16
Posté le 11-11-04 à 22:16Posté par pinotte (invité)
Bonjour!
Je tente ma chance, en espérant que ma démarche soit acceptée
Déjà, on peut déduire que les nombres seront inférieurs à 50, car 50 + 51 = 101. Ensuite, on peut chercher une quantité n de nombres dont la moyenne sera de 100/n.
Ainsi, existe-t-il 4 nombres consécutifs dont la moyenne est 25?
5 nombres consécutifs dont la moyenne est 20?
8 nombres consécutifs dont la moyenne est 12,5?
10 nombres consécutifs dont la moyenne est 10?
20 nombres consécutifs dont la moyenne est 5?
On peut éliminer la dernière possibilité, car la moyenne des 20 plus petits nombres est de 10,5.
4 nombres consécutifs dont la moyenne est de 25:
moyenne de 23+24+25+26 = 24,5
moyenne de 24+25+26+27 = 25,5
Aucune solution
5 nombres consécutifs dont la moyenne est de 20:
moyenne de 18+19+20+21+22 = 20
Première solution
8 nombres consécutifs dont la moyenne est de 12,5:
moyenne de 9+10+11+12+13+14+15+16= 12,5
Deuxième solution
10 nombres consécutifs dont la moyenne est de 10:
moyenne de 6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 = 10,5
moyenne de 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14 = 9,5
Aucune solution
On trouve donc deux groupes de nombres entiers positifs consécutifs dont la somme est de 100.
Bonjour!Je tente ma chance, en espérant que ma démarche soit acceptée
Déjà, on peut déduire que les nombres seront inférieurs à 50, car 50 + 51 = 101. Ensuite, on peut chercher une quantité n de nombres dont la moyenne sera de 100/n.
Ainsi, existe-t-il 4 nombres consécutifs dont la moyenne est 25?
5 nombres consécutifs dont la moyenne est 20?
8 nombres consécutifs dont la moyenne est 12,5?
10 nombres consécutifs dont la moyenne est 10?
20 nombres consécutifs dont la moyenne est 5?
On peut éliminer la dernière possibilité, car la moyenne des 20 plus petits nombres est de 10,5.
4 nombres consécutifs dont la moyenne est de 25:
moyenne de 23+24+25+26 = 24,5
moyenne de 24+25+26+27 = 25,5
Aucune solution
5 nombres consécutifs dont la moyenne est de 20:
moyenne de 18+19+20+21+22 = 20
Première solution
8 nombres consécutifs dont la moyenne est de 12,5:
moyenne de 9+10+11+12+13+14+15+16= 12,5
Deuxième solution
10 nombres consécutifs dont la moyenne est de 10:
moyenne de 6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 = 10,5
moyenne de 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14 = 9,5
Aucune solution
On trouve donc deux groupes de nombres entiers positifs consécutifs dont la somme est de 100.
re : Challenge n°38 Posté le 11-11-04 à 22:28
Posté le 11-11-04 à 22:28Posté par dad97 dad97 
Bonsoir,
Soit n le plus petit entier de la suite d'entier positif, soit k le nombre de terme de cette suite de nombres (on peut noter tout de suite que k est non nul donc k-1 est un entier naturel).
L'énoncé se traduit donc par :
)
=100
or :
=
or
et\times ((k-1)+1}{2}=\frac{k\times (k-1)}{2})
d'où :
=}{2})
}{2})
}{2})
donc=100 <--> }{2}=100)
soit=200)
mais
1er cas : k est impair
alors
{1 ; 5 ; 25 }
1er sous cas : k=1
alors 2n+1-1=200 soit n=100 1er cas envisageable
2ème sous-cas : k=5
alors 2n+5-1=200/5=40 soit n=18 2ème cas envisageable
3ème sous cas : k=25
alors 2n+25-1=200/25=8 alors
donc ce cas ne convient pas.
2ème cas : k est pair
alors{2 ; 4 ; 8 ;10 ; 20 ; 40 ; 50 ; 100 }
si k=2 alors 2n+2-1=200/2=100 et n n'est pas entier donc ce cas ne convient pas.
si k=4 alors 2n+4-1=50 et n n'est pas entier donc ce cas ne convient pas.
si k=8 alors 2n+8-1=25 i.e. n=9 3ème cas envisageable
si k=10 alors 2n+10-1=20 et n n'est pas entier donc ce cas ne convient pas.
si k=20 alors 2n+20-1=10 alors donc ce cas ne convient pas.
si k=40 alors 2n+40-1=5 alors donc ce cas ne convient pas.
si k=50 alors 2n+50-1=4 alors donc ce cas ne convient pas.
si k=100 alors 2n+100-1=2 alors donc ce cas ne convient pas.
si k=200 alors 2n+200-1=1 alors donc ce cas ne convient pas.
Conclusion :
il y a 3 groupes de nombre entiers positifs consécutifs dont la somme égale 100.
Il sont {1} , {18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22} et {9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 }
Salut
dad97 dad97 Bonsoir,Soit n le plus petit entier de la suite d'entier positif, soit k le nombre de terme de cette suite de nombres (on peut noter tout de suite que k est non nul donc k-1 est un entier naturel).
L'énoncé se traduit donc par :
or :
or
et
d'où :
donc
soit
mais
1er cas : k est impair
alors
1er sous cas : k=1
alors 2n+1-1=200 soit n=100 1er cas envisageable
2ème sous-cas : k=5
alors 2n+5-1=200/5=40 soit n=18 2ème cas envisageable
3ème sous cas : k=25
alors 2n+25-1=200/25=8 alors
2ème cas : k est pair
alors
si k=2 alors 2n+2-1=200/2=100 et n n'est pas entier donc ce cas ne convient pas.
si k=4 alors 2n+4-1=50 et n n'est pas entier donc ce cas ne convient pas.
si k=8 alors 2n+8-1=25 i.e. n=9 3ème cas envisageable
si k=10 alors 2n+10-1=20 et n n'est pas entier donc ce cas ne convient pas.
si k=20 alors 2n+20-1=10 alors
si k=40 alors 2n+40-1=5 alors
si k=50 alors 2n+50-1=4 alors
si k=100 alors 2n+100-1=2 alors
si k=200 alors 2n+200-1=1 alors
Conclusion :
il y a 3 groupes de nombre entiers positifs consécutifs dont la somme égale 100.
Il sont {1} , {18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22} et {9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 }
Salut
re : Challenge n°38 Posté le 11-11-04 à 22:45
Posté le 11-11-04 à 22:45Posté par pinki6600 (invité)
2 solution:
9+10+11+12+13+14+15+16=100
et
18+19+20+21+22=100
2 solution:9+10+11+12+13+14+15+16=100
et
18+19+20+21+22=100
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 09:42
Posté le 12-11-04 à 09:42Posté par franz franz
En appelant n le dernier entier de la série etm+1 le premier,
} 2 - \frac {m(m+1)} 2} = \frac {n^2-m^2+n-m} 2 = \frac {(n-m)(n+m+1)} 2 = 100)
d'où(n+m+1)=200)
Or pour tout couple d'entiers naturels (m,n) , n-m et m+n+1 sont de parité différente et m+n+1 > m-n
Les seuls couples de diviseurs de 200 que peut valoir le couple (n-m,n+m+1) sont :
\;\in\;\{(1,200),(5,40),(8,25)\})
(il ne faut garder que les couples dont le produit donne 200 avec un facteur pair et un impair et le premier terme inférieur au second))
Nous avons 3 cas à considérer
cas inintéressant car on n'a que le terme 100 dans la somme
cas 
cas 
Il n'existe que deux groupes d'entiers consécutifs dont la somme vaut 100 (les deux derniers).
P.S. : Merci puisea pour cette jolie énigme d'arithmétique.
franz franzEn appelant n le dernier entier de la série etm+1 le premier,d'où
Or pour tout couple d'entiers naturels (m,n) , n-m et m+n+1 sont de parité différente et m+n+1 > m-n
Les seuls couples de diviseurs de 200 que peut valoir le couple (n-m,n+m+1) sont :
(il ne faut garder que les couples dont le produit donne 200 avec un facteur pair et un impair et le premier terme inférieur au second))
Nous avons 3 cas à considérer
Il n'existe que deux groupes d'entiers consécutifs dont la somme vaut 100 (les deux derniers).
P.S. : Merci puisea pour cette jolie énigme d'arithmétique.
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 11:11
Posté le 12-11-04 à 11:11Posté par LNb (invité)
On considèrera qu'il y a au moins 2 nombres (à cause du pluriel) et qu'ils sont strictement positifs
Il y a deux groupes de nombres
9 10 11 12 13 14 15 16
ou
18 19 20 21 22
en effet
si on appelle n le plus petit nombre et n + p le plus grand, on a
n + (n +1) + ... (n + p) = (p + 1)(2n + p)/2
la somme vaut 100 se traduit alors par (p + 1)(2n + p) = 200
p + 1 et 2n + p sont des entiers de parités différentes, tous deux strictement supérieurs à 1, dont le produit donne 200 et tels que 2n + p > p + 1
les seuls couples de diviseurs de 200 qui réalisent ces conditions sont {8 ; 25} et {5 ; 40} (toutes les puissances de 2 sont regroupées dans le même diviseur)
p + 1 = 8
2n + p = 25 donne p = 7 et n = 9
p + 1 = 5
2n + p = 40 donne p = 4 et n = 18
CQFD
On considèrera qu'il y a au moins 2 nombres (à cause du pluriel) et qu'ils sont strictement positifsIl y a deux groupes de nombres
9 10 11 12 13 14 15 16
ou
18 19 20 21 22
en effet
si on appelle n le plus petit nombre et n + p le plus grand, on a
n + (n +1) + ... (n + p) = (p + 1)(2n + p)/2
la somme vaut 100 se traduit alors par (p + 1)(2n + p) = 200
p + 1 et 2n + p sont des entiers de parités différentes, tous deux strictement supérieurs à 1, dont le produit donne 200 et tels que 2n + p > p + 1
les seuls couples de diviseurs de 200 qui réalisent ces conditions sont {8 ; 25} et {5 ; 40} (toutes les puissances de 2 sont regroupées dans le même diviseur)
p + 1 = 8
2n + p = 25 donne p = 7 et n = 9
p + 1 = 5
2n + p = 40 donne p = 4 et n = 18
CQFD
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 15:05
Posté le 12-11-04 à 15:05Posté par claireCW (invité)
Soit Po le premier terme du groupe, et n le nombre de termes consécutifs.
La somme des n entiers de Po à Po + n - 1 est :
S = (Po + (Po + n - 1). n /2
S = (2Po + n - 1).n/2
On cherche n et Po tels que S = 100
(2Po + n - 1). n = 200
200 = 2x2x2x5x5
Donc les valeurs possibles de n sont : 2, 4, 5, 8, 10, 25, 50, 100, 200.
25, 50, 100 et 200 sont aberrants par rapport à l'énoncé. En effet, même en commencant à 1, la somme de 25 (50, 100 ou 200) entiers consécutifs est supérieure à 100
Si n = 2,
2Po + n - 1 = 100, donc 2Po = 99 impossible car Po est entier
Si n = 4,
2Po + n - 1 = 50, donc 2Po = 47 impossible car Po est entier
Si n = 5,
2Po + n - 1 = 40, donc Po = 18.
donc {18;19;20;21;22} est un groupe qui fonctionne
Si n = 8,
2Po + n - 1 = 25, donc Po = 9.
donc {9;10;11;12;13;14;15;16} est un groupe qui fonctionne
Si n = 10,
2Po + n - 1 = 20, donc 2Po = 11 impossible car Po est entier
Les deux seuls gropues qui fonctionnent sont donc :
{18;19;20;21;22} et {9;10;11;12;13;14;15;16}
Soit Po le premier terme du groupe, et n le nombre de termes consécutifs.La somme des n entiers de Po à Po + n - 1 est :
S = (Po + (Po + n - 1). n /2
S = (2Po + n - 1).n/2
On cherche n et Po tels que S = 100
(2Po + n - 1). n = 200
200 = 2x2x2x5x5
Donc les valeurs possibles de n sont : 2, 4, 5, 8, 10, 25, 50, 100, 200.
25, 50, 100 et 200 sont aberrants par rapport à l'énoncé. En effet, même en commencant à 1, la somme de 25 (50, 100 ou 200) entiers consécutifs est supérieure à 100
Si n = 2,
2Po + n - 1 = 100, donc 2Po = 99 impossible car Po est entier
Si n = 4,
2Po + n - 1 = 50, donc 2Po = 47 impossible car Po est entier
Si n = 5,
2Po + n - 1 = 40, donc Po = 18.
donc {18;19;20;21;22} est un groupe qui fonctionne
Si n = 8,
2Po + n - 1 = 25, donc Po = 9.
donc {9;10;11;12;13;14;15;16} est un groupe qui fonctionne
Si n = 10,
2Po + n - 1 = 20, donc 2Po = 11 impossible car Po est entier
Les deux seuls gropues qui fonctionnent sont donc :
{18;19;20;21;22} et {9;10;11;12;13;14;15;16}
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 18:50
Posté le 12-11-04 à 18:50Posté par somarine (invité)
bonsoir,
soit n le nombre à rechercher, son consécutif est n+1
2 entiers consécutifs:
il faut que n+n+1=100 2n=99 impossible car n ne sera pas entier
3 entiers consécutifs:
n+n+1+n+2=100 3n=97 impossible car 97 n'est pas divible par 3
4 entiers consécutifs:
4n+6=100 4n=94 or 94 n'est pas divisible pas 4
5 entiers consécutifs:
5n+10=100 5n=90 n=18
le premier groupes des nombres consécutifs est 18+19+20+21+22=100
On fait ainsi de suite et on a par exemple
8 entiers consécutifs:
8n+28=100 8n=72 n=9
2ème groupe: 9+10+11+12+13+14+15+16=100
je me suis arretée au 15 entiers consécutifs car
15n+105=100 et le n sera négatif et ça ne répond pas à la question.
Résumé: 2 groupes d'entiers consécutifs dont la somme vaut 100
1){18,19,20,21,22}
2){9,10,11,12,13,14,15,16}
J'espère que la justification est correcte.
bonsoir,soit n le nombre à rechercher, son consécutif est n+1
2 entiers consécutifs:
il faut que n+n+1=100 2n=99 impossible car n ne sera pas entier
3 entiers consécutifs:
n+n+1+n+2=100 3n=97 impossible car 97 n'est pas divible par 3
4 entiers consécutifs:
4n+6=100 4n=94 or 94 n'est pas divisible pas 4
5 entiers consécutifs:
5n+10=100 5n=90 n=18
le premier groupes des nombres consécutifs est 18+19+20+21+22=100
On fait ainsi de suite et on a par exemple
8 entiers consécutifs:
8n+28=100 8n=72 n=9
2ème groupe: 9+10+11+12+13+14+15+16=100
je me suis arretée au 15 entiers consécutifs car
15n+105=100 et le n sera négatif et ça ne répond pas à la question.
Résumé: 2 groupes d'entiers consécutifs dont la somme vaut 100
1){18,19,20,21,22}
2){9,10,11,12,13,14,15,16}
J'espère que la justification est correcte.
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 19:18
Posté le 12-11-04 à 19:18Posté par puisea puisea
Bravo à tous, plein de bonnes réponses, bravo à vous... Pour ma correction regardez mon message en haut, sinon regardez la réponse proposée par ceux qui ont eu bon
Prochaine énigme dans très peu de temps...
puisea puisea Bravo à tous, plein de bonnes réponses, bravo à vous... Pour ma correction regardez mon message en haut, sinon regardez la réponse proposée par ceux qui ont eu bon
Prochaine énigme dans très peu de temps...
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 19:30
Posté le 12-11-04 à 19:30Posté par Graubill (invité)
k, nombre de terme, et n nombre premier de la suite.
200= k*(2n+k-1)
200=1*2*2*2*5*5
si k est pair alors, 2n+k-1 est impair, soit = 40*5 (pas de solution)
ou 8*25,
k=8 et n=9.
si k est impair,
k=1, n=100
k=5, n=18
k=25, pas de solution
donc trois groupes = {100;(18;19;20;21;22);(9;10;11;12;13;14;15;16)}
k, nombre de terme, et n nombre premier de la suite.
200= k*(2n+k-1)
200=1*2*2*2*5*5
si k est pair alors, 2n+k-1 est impair, soit = 40*5 (pas de solution)
ou 8*25,
k=8 et n=9.
si k est impair,
k=1, n=100
k=5, n=18
k=25, pas de solution
donc trois groupes = {100;(18;19;20;21;22);(9;10;11;12;13;14;15;16)}
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 19:31
Posté le 12-11-04 à 19:31Posté par puisea puisea
Désolé Graubill, il est trop tard, et en plus tu avais faux car il était demandés groupe(s) de nombre entiers positifs consécutifs
Or 100 tout seul ne respecte pas cette règle...
@+
puisea puisea Désolé Graubill, il est trop tard, et en plus tu avais faux car il était demandés groupe(s) de nombre entiers positifs consécutifs
Or 100 tout seul ne respecte pas cette règle...
@+
re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 19:58
Posté le 12-11-04 à 19:58Posté par dad97 dad97
Bouh le {100} 
de toute manière je m'étais planté en récapitulant les cas qui fonctionnait
dad97 dad97 Bouh le {100} de toute manière je m'étais planté en récapitulant les cas qui fonctionnait re : Challenge n°38 Posté le 12-11-04 à 20:00
Posté le 12-11-04 à 20:00Posté par puisea puisea
Tu te rattraperas dad tu n'as "que" 7 points de retard sur la première place
@+
puisea puisea Tu te rattraperas dad
tu n'as "que" 7 points de retard sur la première place @+
Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 771,43 %28,57 %
Temps de réponse moyen : 11:03:24.
Nombre de participations : 7
71,43 %28,57 %5 
2
2Temps de réponse moyen : 11:03:24.
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