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changement de repère

Posté par
neuneu
28-02-08 à 21:28

Bonjour alors voilà je suis complètement perdue avec les changements de repère : dans quel sens on écrit les matrices, donner les nouvelles coordonnées par exemple. Je pense que m'expliquer serait trop long! alors est ce que vous ne connaitriez pas des sites qui pourraient m'aider ainsi que des exercices corrigés s'il vous plait
Merci
bonne soirée

Posté par
raymond Correcteur
changement de repère 28-02-08 à 21:58

Bonsoir.

Plantons le décor.

¤ E un espace vectoriel de dimension n.
¤ 2$\scr{B} une ancienne base
¤ 2$\scr{B^'} une nouvelle base

En général, les vecteurs de la nouvelle base sont donnés au moyen de leurs coordonnées sur l'ancienne base.

1°) On appelle matrice de passage de 2$\scr{B} à 2$\scr{B^'} la matrice P dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base par rapport à l'ancienne.

On peut écrire 2$\textrm P = (\scr{B^'}/\scr{B}) (nouvelle par rapport à l'ancienne).

2°) Soit maintenant un vecteur x de E. Ses anciennes coordonnées sur 2$\scr{B} forment une matrice colonne que je note X. Ses nouvelles coordonnées sur 2$\scr{B^'} forment une matrice colonne que je note X'.

On a alors la formule fondamentale :

3$\textrm\fbox{X = P.X^'}

Pour retenir cette formule, on peut écrire :

X = x/2$\scr{B} (coordonnées de x sur 2$\scr{B})

X' = x/2$\scr{B^'} (coordonnées de x sur 2$\scr{B^'}

Alors, la formule encadrée devient :

3$\textrm\fbox{(x/\scr{B}) = (\scr{B^'}/\scr{B})\times(x/\scr{B^')}

Tu remarques que si l'on considère cette écriture comme des fractions, on peut "simplifier" et trouver x/2$\scr{B} = x/2$\scr{B}.

Si tu as compris ce premier contact, on pourra passer à la suite.

Posté par
neuneu
re : changement de repère 29-02-08 à 07:43

Bonjour merci beaucoup pour votre aide !
je pense avoir compris
je vais essayer de trouver des exercices pour le vérifier!
en tout cas merci d'avoir pris de votre temps pour m'expliquer
bonne journée

Posté par
neuneu
re : changement de repère 29-02-08 à 09:42

Re bonjour
alors j'ai essayé quelques exercices , pour confirmation si je change d'origine ( et que cette nouvelle origine a pour coordonnées \( \array{a\\b\\c}\) ) je dois bien faire
X=P.X'+ \( \array{a\\b\\c}\) ?

Autre question s'il vous plait:
Si j'ai une courbe dont les asymptotes sont y=\frac{b}{a}x et y=-\frac{b}{a}x et qu'on veut prendre comme nouveau repère ces asymptotes, leur point d'intersection est bien le centre de ce nouveau repère?
Comment fait on pour déterminer les vecteurs qui les dirigent s'il vous plait?
Dans le livre ils écrivent:"  Les asymptotes ont pour équations cartésiennes y=\frac{b}{a}x et y=-\frac{b}{a}x donc sont dirigées par I=i+\frac{b}{a}j et J=i-\frac{b}{a}j  " mais je ne vois pas comment ils font pour dire çà

Je vais arrêter là pour mes questions pour le moment ! sinon je vais vous envahir! autant que j'y aille dans l'ordre

merci beaucoup

Posté par
raymond Correcteur
re : changement de repère 29-02-08 à 13:03

Bonjour.

J'ai lu tes questions. Je n'ai pas le temps de te répondre cet après midi. Je te promets de revenir dessus en fin de journée.

Posté par
neuneu
re : changement de repère 29-02-08 à 13:19

Merci beaucoup pour votre aide, mais prenez votre temps!

Posté par
raymond Correcteur
re : changement de repère 29-02-08 à 21:19

Bonsoir.

Le changement de repère est plus difficile que le simple changement de base. En effet, il se décompose en deux changements :
1°) le changement d'origine
2°) le changement de base.

Soient :

2$\scr{R} = (O , 2$\scr{B} ) l'ancien repère
2$\scr{R^'} = (O' , 2$\scr{B^'} ) le nouveau repère.

1°) Changement d'origine

Pour tout point M, on a l'égalité vectorielle : 2$\textrm\vec{OM} = \vec{OO^'} + \vec{O^'M}

Appelons :
(a1 , ... , an) les coordonnées de O' sur 2$\scr{R}
(x1 , ... , xn) les coordonnées de M sur 2$\scr{R}
(X1 , ... , Xn) les coordonnées de M sur (O' , 2$\scr{B})
(Pour le moment on garde la même base).

Alors, l'égalité vectorielle se traduit par :

2$\textrm\begin{pmatrix}x_1\\.\\.\\.\\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1\\.\\.\\.\\a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}X_1\\.\\.\\.\\X_n\end{pmatrix}

Donc la formule matricielle x = A + X

2°) Changement de base.

Nous allons passer de (O' , 2$\scr{B}) à (O' , 2$\scr{B^'})

Ce passage est simplement un changement de base. Soit P la matrice de passage. Appelons (X'1 , ... , X'n) les coordonnées de M sur 2$\scr{R^'} = (O' , 2$\scr{B^'} ).

Alors en posant : 2$\textrm X^' = \begin{pmatrix}X_1^'\\.\\.\\.\\X_n^'\end{pmatrix}, le précédent topic nous donne X = PX'.

Finalement :
x la colonne des coordonnées de M dans 2$\scr{R} = (O , 2$\scr{B} )
A la colonne des coordonnées de O' dans 2$\scr{R} = (O , 2$\scr{B} )
P la matrice de passage de 2$\scr{B} à 2$\scr{B^'}
X' la colonne des coordonnées de M dans 2$\scr{R^'} = (O' , 2$\scr{B^'} )
Alors :

3$\textrm\fbox{x = PX^' + A}

3°) Exemple.

Dans un repère (O,i,j), on donne le point O'(-1,3) et les vecteurs I = 2i + j et J = i - 2j.
Etudions le passage de (O,ij) à (O',I,J).

La matrice de passage sera :

2$\textrm P = \begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}

Alors, x = PX' + A s'écrit :

2$\textrm \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X^'\\Y^'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}

Soit :

2$\textrm\{{x = 2X^'+Y^'-1\\y = X^'-2Y^'+3

Un conseil :
¤ dessine (O,i,j) puis (O',I,J)
¤ Prend le point (0,1) dans le repère initial et calcule par le système ses coordonnées dans le nouveau repère
¤ Vérifie.

Regarde déjà ce petit résumé, nous parlerons des asymptotes après.

Posté par
neuneu
re : changement de repère 01-03-08 à 07:35

Bonjour merci beaucoup, je pense avoir compris. Je vais étudier votre exemple.

Désolé de ne pas pouvoir vous remercier avant mais je reviendrai pour le faire à chaque fois, je trouve çà super gentil que vous m'aidiez.

Allez je vais le travailler

merci

Posté par
neuneu
re : changement de repère 01-03-08 à 13:40

Re bonjour je pense avoir compris ce que vous m'avez expliqué!
J'ai trouvé des exercices un peu comme l'exemple que vous m'avez proposé et j'ai réussi, çà me fait plaisir!
En fait à chaque fois que j'ai \( \array{x\\y}\) qui est égal à quelque chose , même si c'est en fonction de X et Y ce sont toujours les coordonnées de mon point dans le repère initial et inversement si j'ai \( \array{X\\Y}\) ce sont celles dans mon nouveau repère; et çà j'avais du mal à me le dire.

Je vais essayer de regarder un peu ce que je trouve sur les asymptotes.
Bon après midi et à plus tard

Et merci encore
  



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