Forum des énigmes mathématiques :
Enigmo 5 : à en devenir chèvre ...

Bonjour,

voici une dernière petite Enigmo pour ce mois de février qui n'en finit plus (on n'a pas l'habitude des mois de février à 29 jours ! ).

Monsieur Guinseuh possède un parc dans lequel il a une cabane rectangulaire de 40 mètres de longueur sur 20 mètres de largeur.
Il attache une chèvre au bout d'une corde de 50 mètres, en fixant cette corde en un point situé sur un mur externe de la cabane.

Monsieur Ginseuh ne venant pas souvent dans son parc, il décide d'attacher la chèvre de telle sorte que celle-ci puisse brouter un maximum de surface du parc.

Questions :
1. A quel endroit faut-il fixer la corde ? (indiquer précisément la position du point d'accrochage sur un des murs externes de la cabane, par rapport aux points A, B, C et D)
2. Quelle est la valeur de l'aire maximale que la chèvre broute ? (donner la valeur exacte, puis une valeur approchée en m²)

On suppose que :
- la chèvre est considérée comme un point au bout de la corde de 50m ;
- le parc est suffisamment grand pour que la chèvre n'atteigne pas ses limites ;
- la chèvre peut uniquement se déplacer autour de la cabane sans pouvoir la traverser, tant que la longueur de la corde le lui permet.

Pour des raisons évidentes de symétrie, il existe plusieurs solutions ; n'en donner qu'une seule.

Il faut fixer la corde à l'un des 4 coins : A, B,C ou D indifféremment, compte tenu des symétries.
La surface "broutable" est de 2125*, soit 6676 m² arrondi au m² le plus proche.

Bonjour Jamo

1- Pour que la chèvre puisse brouter le maximum d'herbe il suffit qu'on l'attache dans l'extrémité du rectangle A par exemple.

2- La surface maximale sera donc 2125 m²6675.884 m²

merci pour l'énigme .

Maximum :  Lorsqu'on fixe la chèvre à un angle

pour une aire de :
2125*pi = 6675.884389 m2 = 6676 m2

(Le minimum si on fixe la chèvre au milieu du grand mur :5497.787144)

A+
Torio

Bonjour,

Pour brouter un maximum du parc, la corde de la chèvre doit être attachée à un coin de la cabane.

La surface broutée sera alors de 2150 m², soit environ 6676 m².

Merci pour cette énigme,

A+

Bonjour,

D'après mes calculs, Si la corde est fixée à l'un des angles de la cabane, la chèvre pourra brouter une surface maximale de :

    4250 13 352 m²  

Pour brouter la surface maximale il suffit d'attacher la chèvre à un angle.

La surface broutée est alors constituée de 3/4 d'un cercle de rayon 50m, 1/4 de cercle de rayon 30 m et 1/4de cercle de rayon 10 m

Soit une surface totale de 3/4*50²+1/4 30² +1/4 10² = 1/4(7500+900+100) =2125 =6675,8849  m²

Pour des raisons de symétrie, on peut imposer P (le piquet) entre A et le milieu E de AB ou entre A et le milieu G de AD. Soit x la distance AP.
Dans tous les cas, la chèvre peut brouter un demi-disque de centre P et de rayon 50 et un certain nombre de quarts de disques (quand elle contourne la cabane).

Si P est sur AE, il y a deux configurations suivant x>10 et x<10.
En ajoutant les aires des portions de disques, on trouve sur [0,10] et [10,20] des fonctions du second degré décroissantes de x.

Si P est sur AG, il n'y a qu'une configuration possible et on trouve une fonction de x décroissante sur [0,10].
Le maximum de l'aire broutée est donc obtenu pour x=0.

Monsieur Ginseuh doit donc planter son piquet en A (ou en un autre sommet).

En faisant x=0 dans la formule donnant l'aire broutée, je trouve que

l'aire broutable est alors de 2125*Pi.

soit 6676 mètres carrés , à 1 mètre carré près.

a) Il faut fixer la corde n'importe ou car aucun point d'attache ne coupe la cabane. Si il faut en choisir un je choisi le point d'attache qui se trouve à 2 mètre du point A.

b) Elle peut brouter au maximale 5850m² d'herbe.

Dans un premier temps je cherche la position optimale lorsqu'on attache la corde sur [DC]
En posant x = longueur de D au point d'attache sur DC donc 0<=x<=40

pour 0<=x<=10 on calcule l'aire de cette façon A=50²*pi*1/2+(50-x)²*pi*1/4+(50-x-20)²*pi*1/4+(50-(40-x))²*pi*1/4= pi/4(3x²-140x+8500)
le max est atteint pour x=0 et Amax=2125pi

pour 10<=x<=30 on calcule l'aire de cette façon A=50²*pi*1/2+(50-x)²*pi*1/4+(50-x-20)²*pi*1/4+(50-(40-x))²*pi*1/4+(50-(40-x)-20)²*pi*1/4= pi(x²-40x+2150)
le max est atteint pour x=10 ou x=30 et Amax=1850pi

pour 30<=x<=40 on calcule l'aire de cette façon
A=50²*pi*1/2+(50-x)²*pi*1/4+(50-(40-x))²*pi*1/4+(50-(40-x)-20)²*pi*1/4= pi/4(3x²-100x+7700)
le max est atteint pour x=40 et Amax=2125pi

Donc il faudrait fixer la corde en D (ou en C)


Dans un deuxième temps je cherche la position optimale lorsqu'on attache la corde sur [CB]
En posant y = longueur de C au point d'attache sur DC donc 0<=y<=20

pour 0<=y<=10 on calcule l'aire de cette façon A=50²*pi*1/2+(50-y)²*pi*1/4+(50-y-40)²*pi*1/4+(50-(20-y))²*pi*1/4= pi/4(3y²-60y+8500)le max est atteint pour y=0 et Amax=2125pi

pour 10<=y<=20 on calcule l'aire de cette façon
A=50²*pi*1/2+(50-y)²*pi*1/4+(50-(20-y))²*pi*1/4= pi/4(2y²-40y+8400)le max est atteint pour y=20 et Amax=2100pi

Donc il faudrait fixer la corde en C

En conclusion, une solution possible est de fixer la corde en C et l'aire maximale est exactement de 2125pi, c'est à dire d'à peu près 6 676 m²

Bonjour,

après différents calculs, j'arrive à la conclusion que la corde doit être attachée à l'un des angles A, B, C ou D.
L'aire maximale délimitée peut être calculée ainsi :

3/4 de l'aire d'un disque de 50m de rayon
+1/4 de l'aire d'un disque de 30m de rayon
+1/4 de l'aire d'un disque de 10m de rayon

soit (3/450²)+(1/430²)+(1/410²)

soit 6675,88438887831

ou environ 6676 m²

bonjour Jamo
il faut fixer la corde exactement à un coin de la cabane, en A, B, C, ou D
l'aire de la partie broutable est alors 8500*pi/4 = 2125 pi, soit 6676 m² arrondi au mètre carré le plus proche

les calculs suivants ont pour unités le décamètre et le décamètre carré, ou are
première option : fixer la corde sur la longueur
soit x la distance entre le point de fixation et le coin le plus proche
la surface broutable est formée de quarts de cercle de rayons respectifs : 5, 5, 5-x, 3-x, x+1 et (seulement si x > 1) x-1
la somme des carrés des rayons est 3x²-14x+85 si x <=1 et 4x²-16x+86 si x > 1
la première somme a son minimum quand x = 14/6; dans l'intervalle [0;1], elle décroît toujours et a son maximum quand x = 0; elle vaut alors 85
la deuxième somme a son minimum quand x = 16/8 = 2; dans l'intervalle [1;2], elle décroît toujours et à som maximum quand x = 1; elle vaut alors 74, moins que le maximum de la première somme

deuxième option : fixer la corde sur la largeur
soit encore x la distance entre le point de fixation et le coin le plus proche
la surface broutable est formée de quarts de cercle de rayons respectifs : 5, 5, 5-x, 1-x, 3+x, quel que soit x compris dans [0;1]
la somme des carrés des rayons est 3x²-6x+85; elle a son minimum quand x = 6/6 = 1; dans l'intervalle [0;1], elle décroît toujours et a son maximum quand x = 0; elle vaut alors 85

on attache la corde de la chevre au milieu du coté CD
La surface broutée est 3500pi m² (en valeur approchée 10995,57)

La surface laissée à cette pauvre chèvre est maximale quand celle-ci est attachée à l'un des quatre coins du bâtiment.
Cette surface vaut alors

Bonsoir jamo


Monsieur Ginseuh doit attacher sa chèvre à l'un des quatre coins de la cabane (*), c'est-à-dire à l'un des points A, B, C ou D.
Blanquette pourra alors brouter une surface de 2125 m², soit environ 6675,88 m².



Cordialement
Frenicle


(*) Belle cabane (800 m² au sol) !

Salut!

La chèvre broutera un maximum d'herbe si elle est attachée à un des coins de la ferme (en l'occurrence sur un des points A, B, C ou D) et elle broutera une aire de 2150 m², soit environ 6754 m² (arrondi au mètre carré près)!

@+ et merci pour l'énigme!

bonjour

je suis un peu à la traine mais j'ai subi plus de 24h de panne internet

  D..........I.........C          I est le milieu de DC
  :                    :          J est le milieu de BC
  :                    :
  .                    J  
  :                    :
  :                    :
  A....................B

*pa raison de symétrie il suffit d'étudier les variations de S l'aire "broutable" par la chèvre suivant la position de M le point d'attache de la corde sur le contour JCI

a) M est entre J et C JM=x

0x10
S est composée de:
1/2 cercle de centre M de rayon 50m
1/4 cercle de centre B de rayon (40-x)m
1/4 cercle de centre C de rayon (40+x)m
1/4 cercle de centre D de rayon xm
s
S(x)=(/4)[2.50²+(40-x)²+(40+x)²+x²]  S est croissante sur [0,10] donc si M est sur JC S est maximun si M est en C et S(10)=8500(/4)m²

b) M est entre C et I  IM=x
0x20
S est composée de:
1/2 cercle de centre M de rayon 50m
1/4 cercle de centre C de rayon (30+x)m
1/4 cercle de centre B de rayon (10+x)m
1/4 cercle de centre D de rayon (30-x)m
*si x10 c'est tout et
S(x)=(/4)[2.50²+(30+x)²+(10+x)²+(30-x)²]m²
*si x10
il faut ajouter
1/4 cercle de centre A de rayon (10-x)m on a alors
S(x)=/4)[2.50²+(30+x)²+(10+x)²+(30-x)²+(10-x)²]m²
sur chacun des intervalles S est croissante
x|0                          10                     20

S|7000/4       7400/4    8500/4

si M est sur IC S est donc maximun quand M est en C

en conclusion  pour que S soit maximun il faut attacher la corde  à l'un des coins de la cabane
le maximun de  S est 8500(/4)m²soit 6676m² par excés sauf étourderie de ma part
j'ai supposé que la corde était attachée au ras du sol  sinon  c'est compliqué

j'ai  fait de belles figures mais je ne sais pas les les mettre sur internet ,leur présence faciliterait sans doute la correction
en tous cas merci pour ce petit problème

bonjour
posons I milieu de [AB] et J milieu de [AD].
pour des raisons de symétrie on peut étudier la position de fixation de la corde aux intervalles [AI] et [AJ].
soit M sur [AI] et x=AM.
si x appartient à l'intervalle [0;10] la chèvre peut brouter une aire égale à f1(x)=0.25(8500-140x+3x^2).Le maximum de cette fonction est 2125,atteint en 0.c'est à dire qd M est au point A.


si x appartient à l'intervalle [10;20] l'aire broutée par la chèvre est:
f2(x)=0.25(8600-160x+4x^2).Le maximum de cette fonction est 1850,atteint en 10.



Soit M sur [AJ] et x=AM.
x appartient à l'intervalle [0;10] et la chèvre peut brouter une aire égale à 0.25(8500-60x+3x^2).Cette fonction a son maximum égal à2125,atteint en 0.c'est à dire qd M est au point A.

Mes réponses sont donc:
1.il faut fixer la corde en A.
2.L'aire maximale que la chèvre broute est 2125 ,ce qui vaut en valeur approchée au m2:6676 m2.

Boujour à tous !

1)Il faut placer le point d'attache sur A,B,C, ou D pour que la chèvre ait la plus grande surface à brouter...

2)S =  50² 3 + 10² + 30²
          ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
                            4

S = 2125 6676 m²

matovitch

Au milieu de segment BC

1) Il faut fixer la corde au sommet C de la cabane ça veut dire il faut fixer la corde juste au lieu où se sépare les côtés de 40 m et 20 m. (où la corde est toujours de 50m)

2) L'aire maximale que la chèvre peut brouter est 2125m ² 6676 m²

Le point d'accroche de la corde doit etre situé sur l'un des 4 points A,B,C ou D de la cabane pour que la chèvre puisse brouter le maximum d'herbe possible à  savoir *2125 i-e environ 6675,88 metre carres

Bonjour,

Il faut attacher la chèvre sur un coin.
Elle pourra ainsi brouter environ 6675,9 m² d'herbe. (2125)


Merci pour cette énigme.

Salut tout le monde

Allez, je me lance.

La superficie  de "broutage" de la chèvre sera maximale lorsque le point d'ancrage sera sur une des extrémités de la cabane, soit par exemple sur le point D.

Ainsi, l'aire sera de

A= 3/4 x (Pi x 50²) + 1/4 x (Pi x 30²) + 1/4 x (Pi x 10²)

A = 2125 x Pi (surface exacte)

A = 6676 m² (arrondi au m)

@ plus, Chaudrack

Supposons que la laisse soit attachée quelque part à x de D entre D et C en étant plus près de D (les surfaces sont données à un facteur pi près):
Pour x dans [0;10]:
s1(x) = (50²)/2 + ((50-x)²)/4 + ((50-(40-x))²)/4 + ((50-(x+20))²)/4
      = 125/2 + ((x-50)² + (x+10)² + (x-30)²)/4
  = 125/2 + (3.x²-140.x+3500)/4
  = 125/2 + ((x-35/3)²-(35/3)²+3500)/12
Minimum en x = 35/3 = 11,6666 ce qui nous donne bien évidemment un maximum en 0 (fonction décroissante sur [0:10]).
Pour x dans ]10;20]:
s2(x) = 125/2 + ((50-x)²)/4 + ((50-(40-x))²)/4 + ((50-(x+20))²)/4 + ((50-((40-x)+20)²)/4
      = 125/2 + ((x-50)² + (x+10)² + (x-30)² + (x-10)²)/4
  = 125/2 + (4.x²-160.x+3600)/4
  = 125/2 + ((x-20)²+500)
Minimun en x = 20, et donc maximum en 10 (fonction  décroissante sur l'intervalle considéré)

Conclusion 1: Si la laisse est attachée entre D et le milieu de [DC], l'optimum de surface broutable est sur D.


Supposons maintenant que la laisse soit à y de D entre D et A et plus près de D (x entre 0 et 10):
s2(y) = (50²)/2 + ((50-y)²)/4 + ((50-40-y)²)/4 + ((50-(20-y))²)/4
      = 125/2 + ((y-50)² + (y-10)² + (y+30)²)/4
  = 125/2 + (3.y²-60.y+3500)/4
  = 125/2 + ((y-10)²-100+3500/3)/12
Toujours le même pataquès: minimum en 10, décroissant sur [0;10] donc maximum pour y = 0 (cad la laisse attachée à D).

Conclusion finale: l'aire est maximale lorsque la laisse est attachée à D.[/b].

Milieu de CB?

1. Il faut attacher la chèvre en fixant la corde à l'un des coins de la cabane(A,B,C ou D).
2. L'aire que la chèvre peut brouter est :

  

Le problème aurait été autrement plus 'fun' si la corde avait été plus longue que la moitié du périmètre de la cabane...

Bonjour,

1) Il doit attacher la corde juste au point C. (au fond de l'arête).

2)Aire maximum que le chèvre peut brouter est de 2125 m²6676 m²

1 - Il faut accrocher cette pauvre chèvre dans un coin....au choix, j'ai choisi en haut à droite

2 - Cela va lui donner l'occasion de brouter 6675,88439 m²
  - Soit en arrondissant au m² le plus proche : 6676 m²

Merci pour l'énigme, bonne journée

Je viens de m'inscrire je sais pas trop ce que ca va donner

Bon j'ai essaye plusieurs calculs et il me semble bizarrement que la reponse est:
- le piquet doit etre mis sur l'un des coins du batiment (A, B, C ou D)
- l'aire maximum est
  7500pi/4 + 900pi/4 + 100pi/4 = 8500pi/4
  soit 6675.88m²

Bye,
Vincent.

Bonjour,

1 - Il faut fixer la corde au niveau d'un des angles de la cabane.
2 - L'aire maximale que la chèvre peut alors brouter vaut alors 2125 pi (en m2), soit environ 6676 m².

_{La surface minimum de broutage est obtenue en attachant la chèvre au milieu d'un des grand côtés de la cabane. La chèvre n'a plus alors que 1750 pi à brouter, soit 5498 m2.}

En image, ça donne ça :

Bonjour,

1) Il faut fixer la corde au milieu d' un petit côté du rectangle de la cabane:
milieu de AD par exemple.

2)La chèvre broute une aire d'un demi cercle de rayon 50m + une aire d'un demi cercle de rayon 40m soit 6440,26m² .
La chèvre broute 6440m².

Bonjour,

Je pense qu'il faut accrocher la corde sur un angle de la cabane. Par exemple sur le point A.
Ainsi la chèvre peut brouter jusqu'à 2125*PI mètres carrés.
Ce qui donne environ 6675.88 mètres carrés.

1. Sur un des quatre points.
2.

Pour des raisons de symétrie, l'aire maximale est obtenue en attachant la corde au milieu d'un des cotés du rectangle.
Si l'on prend le milieu du grand coté, l'aire sera composée d'un demi-disque de rayon 50, de deux quarts de disque de rayon 30 et deux quarts de disque de rayon 10.
Si l'on prend le milieu du petit coté BC ou AD, elle sera composée d'un demi disque de rayon 50,  et de deux quarts de disque de rayon 40; comme 40^2>30^2+10^2, c'est cette configuration qui donne l'aire maximale qui vaut (50^2+40^2)pi/2=2050pi=6440,2 m2

Plaçons l'extrémité de la corde en D
aire broutée par la chèvre
1/4(3*50²+ 30²+10²)=2125m²
soit  6676 m² valeur arrondie au m²

Je propose: 1- Fixer la corde a un sommet du rectangle: au point A, B, C ou D.
            2- la surface max sera de: 350²/4 + 30²/4+10²/4=6625/3=6938 m²

Pardon!!! Je recitifie mon resultat en attachan la corde au milieu d'un coté plus petit, selon la figure ce la fait le milieu de [AD] ou de [BC], cela nous donne un espace pour la chevre de  50²/2+40²=8954 m²

Bonjour,

1)Après différentes mesures en A,en E, en F, en G et en H (voir figure ci-dessous), je pense que la corde doit être fixée en A, soit l'un des sommets du rectangle représentant la cabane;

2)L'aire maximale d'herbe pouvant être broutée dans ce cas est de 6675,90 m², soit une valeur arrondie de .

On doit accrocher la corde à un coin (le point C par exemple)
Dans ces conditions on a une aire de :
A = (3/4)50² + (1/4)30² + (1/4)10²
A = (1/4)(3*2500+900+100)
A = (8500/4)
A = 2125

A 6675,9 m²

Clôture de l'énigme.

Bravo à tous ceux qui ont trouvé. Devant tant de bonnes réponses, j'aurais du complexifier le problème, mais j'avais pensé qu'il n'était déjà pas si facile.
Comme l'a fait remarqué je ne sais plus qui, il est vrai qu'il suffit de prendre le même problème en augmentant la longueur de la corde pour que cela devienne déjà plus difficile ...

Et c'est donc frenicle qui emporte ce mois de février assez chargé en énigmes, et cela sans aucune faute, et en ayant participé à toutes les énigmes !!

Un grand bravo à tous ceux qui ont "presque" gagné ce mois ... je pense en particulier à ce pauvre rogerd qui à cause d'une toute petite erreur de rien du tout sur une autre énigme aurait gagné le mois ...

Flo08 >> je crois que tu as confondu diamètre et rayon, c'est dommage ...

gloubi >> tu trouves la bonne valeur approchée, mais ta valeur exacte est fausse ... bizarre !! Je ne peux malheureusement pas accepter, je pense que c'est une erreur de frappe de ta part.

Je rappelle à certains que j'avais demandé la valeur exacte, et pas uniquement la valeur approchée. Et la valeur exacte contient forcément le nombre PI, on ne peut pas la mettre sous forme décimale avec beaucoup de chiffres après la virgule !
Pour la valeur exacte, il aurait été sympa de la mettre sous la forme la plus simple possible. Certains l'ont laissée sous forme de somme ... J'ai accepté, mais bon ...

J'en profite pour faire un autre rappel : c'est la 1ère proposition qui compte. Dans les énigmes qui suivent, certains donnent une réponse, puis refont un autre message quelques instants plus tard pour se rectifier. Nous ne pouvons malheureusement pas accepter ...

Voici une solution détaillée

Appelons I le milieu de [CD] et J le milieu de [BC], et X le point où on fixe la corde.

Pour des raisons de symétries, il suffit d'étudier la position de X entre les points I et J.

Appelons x la longueur entre le point I et le point X en suivant le contour de la cabane. Ainsi x=0 pour X=I, x=20 pour X=C et x=30 pour X=J.

1er cas : (X entre I et le milieu de [IC])

On peut découper la zone en 5 parties.



Soit f la fonction qui donne l'aire en fonction de x :



2ème cas : (X entre le milieu de [IC] et C)

On peut découper la zone en 4 parties.



Soit g la fonction qui donne l'aire en fonction de x :



3ème cas : (X entre C et J)

On peut découper la zone en 4 parties.



Soit h la fonction qui donne l'aire en fonction de x :

La représentation graphique donne la courbe suivante :



Conclusion

L'aire est maximale pour x=20, c'est à dire lorsqu'on attache la chèvre sur un des coins de la cabane (A ou B ou C ou D).

L'aire maximale est donnée par

Toutes mes félicitations frénicle !!

Bonsoir,

Félicitations Frenicle  

Bonsoir à tous et à toutes et, encore une fois,

coup de chapeau à Frenicle!

Bravo frenicle

Bientôt le soleil rouge

Bonjour,

Eh oui, la bête faute de frappe ...

Et bravo à frenicle !

gloubi

Félicitations frenicle pour ton smiley