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Niveau Maths sup
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Tribu borélienne

Posté par
jean1257
29-02-08 à 15:26

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un connait comment on engendre la tribu des boréliens sur l'ensemble des suites infinies

\Omega = \{0,1\}^{\mathbb{N}^{\ast}} ?

plus généralement, quelqu'un a des exemples de tribu boréliennes autres que sur R^n?


Merci pour vos commentaires!

Posté par
Cauchy
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:31

Bonjour,

la tribu borélienne c'est la plus petite tribu qui contient les ouverts c'est cela ta définition?

Si oui quelle topologie tu mets sur ton espace?

Posté par
Rodrigo
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:35

La tribu classique que l'on met sur cette espace est celle définie de la façon suivante.

Si tu te fixes s une suite de 0 et de 1 de longueur l fixé alors tu considère Cs l'ensemble des suites de omega dont les premiers termes sont s.
Alors tu appelle F_l la tribu engendrée par les Cs ou les s sont de longueurs l. Fl est une suite croissante de tribus tu prends la reunion de F_l et tu as ta tribu.

Posté par
Rodrigo
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:36

Heu je me suis emballé, les F_l sont simplement des algèbres de parties pour avoir la tribu tu prends la tribu engendré par la reunion de F_l. C'est aussi la tribu engendré par tous les Cs.

Posté par
jean1257
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:38

Salut!

la topologie sur cet espace est déterminée par la distance suivante:
d(\omega, \omega')=\sum_{j=1}^{+\infty}2^{-j}|\omega_j - \omega_j'|

\omega=(\omega_1, \omega_2,...) et \omega_j=0,1.

Donc, en toute logique, la tribu borélienne est engendrée par les boules ouvertes de cette distance. Je reformule alors ma question: il y a d'autres façons 'classiques' de voir cette tribu? (un peu comme on fait sur R^n où les tranches, les pavés engendrent la tribu borélienne)

Posté par
Rodrigo
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:40

Ma déf corresond pile à cette tribu...

Posté par
jean1257
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:41

Merci Rodrigo,

je n'ai pas encore vérifié, les Cs sont-ils des ouverts?

Posté par
Rodrigo
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:43

Ben oui

Posté par
jean1257
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:44

ok, mais est-ce qu'il y a une autre façon de voir les choses? aurais-tu de la biblio sur ce sujet précis?

Et sur d'autres exemples de tribu boréliennes?

Merci par avance

Posté par
Rodrigo
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 15:48

Heu tu as le bouquin de Rudin qui est tres bien mais qiu ne fait pas a proprement parler un cours de thoérie de la mesure...
Y a aussi le cours de Bony (qui était mon prof sur le sujet) aux editions de l'ecole polytechnique (intégartion et analyse hibertienne) qui est vraiment génial...

Posté par
jean1257
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 16:09

ok merci, j'ai l'analyse réelle et complexe de Rudin je vais voir là dedans.

Posté par
stokastik
re : Tribu borélienne 29-02-08 à 20:27


Bonjour,

Je n'ai plus rencontré ça depuis longtemps et j'aimerais rafraichir ma mémoire. Sauriez-vous commenter mes remarques et questions ci-dessus:

1) quand E est un espace topologique , E^{\mathbb{N}} est naturellement muni de deux topologies: la topologie produit simple et la topologie produit uniforme. Dans le cas de jean1257, E={0,1} est muni de la topo P(E), et quelle est la topologie définie par la distance définie par jean1257 le 29/02/2008 à 15:38 ? La simple ou l'uniforme ?

2) quand E est un espace mesuré, E^{\mathbb{N}} est naturellement muni de la tribu produit définie comme la tribu engendrée par les rectangles ; c'est celle qu'a donnée Rodrigo lorsque  E={0,1} est muni de la tribu P(E) qui correspond à la tribu borélienne de E pour la topo P(E)

3) Quel est le résultat général ? La tribu produit de E^{\mathbb{N}} quand E est muni de la tribu borélienne associée à une topo sur E, est-elle toujours la tribu borélienne de E^{\mathbb{N}} associée à la topo produit ? simple ou uniforme ?

Posté par
Cauchy
re : Tribu borélienne 01-03-08 à 02:03

Bonjour stokastik,

c'est quoi la topologie produit uniforme?



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