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Structures algébriques
Hello,
Je viens de débuter ce chapitre mais il y a quelquechose que je ne comprends pas dans mon livre:
On a la propriété:
Soit E un ensemble avec une loi interne associative ^ et ayant un élément neutre dans E.
-Soit x un élément symétrisable dans E. y=sym(x) est symétrisable dans E et sym(y)=x
-Si a et b sont deux éléments symétrisables dans E, a^b est symétrisable dans E et sym(a^b)= sym(b)^sym(a)
Je n'arrive pas à prouver ces deux propriétés et la correction n'est pas donnée. J'ai pensé pour la première utiliser l'unicité du symétrique d'un élément d'un ensemble à loi associative mais ça n'a rien donné (j'm'englue) et pour la seconde, je n'ai pas d'idées.
Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci
édit Océane : forum modifié
Bon, pour la première, j'ai réfléchi un peu plus et voici ce que j'ai trouvé:
-Soit y le symétrique de x dans E. On a alors x^y=y^x=e. Comme un élément d'un ensemble à loi associative n'admet qu'un seul symétrique, x est l'unique symétrique de y. On a alors sym(y)=x.
Pour la deuxième, je ne vois pas mais je vais quand même essayer.
)
Bonjour,
Je dois trouver un exmeple de loi de composition interne ayant un élément identité et comportant un élément ayant plus d'un seul symétrique.
Merci si vous pouvez m'aider là dessus si vous avez n'importe quoi allant dans ce sens n'hésitez surtt pas !!
Pour la première, j'ai fait ce que j'ai écrit, et pour la seconde voici ma démo
-on cherche à montrer que sym (a^b)=sym(b)^sym (a)
D'une part, on a:
sym(b)^b^sym(a)^a=e
<=>
sym(b)^sym(a)^(a^b)=e car E est un ensemble muni d'une loi associative
D'une autre part, on a:
sym(a^b)^(a^b)=e
d'où sym(a^b)^(a^b)=sym(b)^sym(a)^(a^b)
donc sym(a^b)=sym(b)^sym(a)
Voilà
Pour info, je suis effectivement en seconde et cet exo est issu du livre de ma mère de seconde pour le chapitre des structures algébriques.
Je dois trouver un exmeple de loi de composition interne ayant un élément identité et comportant un élément ayant plus d'un seul symétrique.
Déjà, ta loi ne doit pas être associative (sinon tous les x de ton ensemble n'ont qu'un et un seul symétrique). Euh sinon pour le reste...c'est une leçon que j'ai commencé aujourd'hui alors je préfère ne pas trop m'aventurer mais je cherche
bonjour La-Berlue
tes raisonnements impliquent que la loi interne soit également commutative, ce qui n'est pas toujours le cas !
bonjour Berlue
pour le symétrique de a^b :
(a^b) ^ (sym(b)^sym(a)) = a ^ (b^sym(b)) sym(a)
= a^e^sym(a) = a^sym(a) = e
donc sym(a^b) = sym(b)^sym(a)
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