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Cyclotomie

Posté par
H_aldnoer
29-02-08 à 19:06

Bonsoir,

je bloque sur cette exercice :
Soit f : \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{F}_p[X] qui envoi \phi_n(X)\in\mathbb{Z} le n-ième polynôme cyclotomique dans \mathbb{F}_p[X].
Soit a un générateur de \mathbb{F}_{p^d}^*

Il faut montrer que f(\phi_{p^d-1}(a))=0.
Puis montrer que f(\phi_{6}(X))=0 n'est pas irréductible dans \mathbb{F}_p[X].

J'ai du mal déjà avec le vocabulaire "générateur".
Je sais que \mathbb{F}_{p^d}^* est cyclique donc monogène est finie : \mathbb{F}_{p^d}^*=\{1,a,...,a^{p^d-1}\}=<a>.

Je vois pas comment poursuvire.

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:14

le  polynôme cyclotomique d'indice n  divise Xn-1  dans Z[X] , donc son image dans Fp  aussi . Et là je te laisse poursuivre.

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:18

est-ce vraiment un  6 pour la suite ?

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:24

J'ai X^n-1=\Bigprod_{d|n}\phi_d(X) c'est ce qui implique \phi_n(X) | X^n-1 ?

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:25

Pour la suite, il donner un exemple précis pour lequel on a pas l'irréductibilité! (y'avais q=p^d=7 dans l'énoncé cependant)

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:33

je l'ai déjà triaté celui là non?
polynome cyclotomique

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:33

oui pour la divisibilité, ah ok pour le 6 c'est avec p=7 et pas n'importe quel p

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:36

donc on a f(\phi_n(X)) | f(X^n-1)
il faut calculer f(X^n-1) ?

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:38

Oui, robby j'avais pas compris ...

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:40

comme f(1)=1 c'est pas dur .

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:40

Citation :
Oui, robby j'avais pas compris ...

>pourtant ton dernier message c'était
Citation :
Ok!

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:44

Par f(1) c'est bien f(\phi_n(1)) ?

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:44

Citation :
pourtant ton dernier message c'était

Il faut remettre le "ok" dans le contexte

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:45

pour calculer  f(Xn-1) = f(1)Xn-f(1)= Xn-1

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:47

La solution donnée dans le topic précédent me semble...disons ...elliptique

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:47

Donc oui on a bien f(\phi_n(1))=1 ou 1 est la classe de 1 modulo p c'est ça ?

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:48

f est un homomorphisme ?

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:50

je vois pas pourquoi phi(1)=1 ?
Sinon oui la reduction mod p est un morpshime d'anneau

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:50

Citation :
La solution donnée dans le topic précédent me semble...disons ...elliptique

>
oui Cauchy m'avait fait remarquer que ce que j'avais écrit était faux...je m'étais emballé
Mais on aurait ou continuer sur l'autre topic au lieu d'en réouvir un sur le meme exo
Pas grave!
je vais suivre celui-ci!

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:52

Ah oui...
mais f(1) c'est quoi?

parce que moi je vois la fonction f comme une fonction qui prend le polynôme cyclotomique à l'espace départ.
en fait c'est juste une application de \mathbb{Z}[X] dans \mathbb{F}_p[X] ?

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 19:54

voui c'est la réduction mod p sur tout l'anneau

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:01

Donc on obtient que f(\phi_n(X))| X^n-1.

On écrit alors X^n-1=f(\phi_n(X))Q(X) avec Q(X)\in\mathbb{F}_p[X]
On a X^{p^d-1}-1=f(\phi_{p^d-1}(X))Q(X).

Mais a est un générateur de \mathbb{F}_{p^d}^* donc a^{p^d-1}-1=0
Soit f(\phi_{p^d-1}(a))Q(a)=0.

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:07

Je vois pas pourquoi Q(a)\neq 0

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:09

parce que c'est pas fini , écrit ce que vaut  Q

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:14

Q(X)=\Bigprod_{d|n, d\neq n} f(\phi_n(X)) ?

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:16

oui et donc si  jamais Q(a) = 0 ?

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:18

il existe donc un n divisible par d telle que f(\phi_n(a))=0.

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:26

c'est un d  /n , d différent de n . Mézalors  comme le polynôme  f(Phi_d(X)) divise X^d-1 ....

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:37

Oups oui, il existe d divisant n d différent de n telle que f(\phi_d(a))=0.

Il faut arriver à une absurdité ?
La j'arrive à a^d=1, ce qui implique que a^n=1

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:43

n= p^d-1  et  a  est primitive d'où la contradiction attendure ! Q(a) n'est donc pas nul

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:51

De ou tire-t-on que n=p^d-1 ?

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:53

je suis depuis le début...mais:
H>ça vient que a est un générateur de F_p^n *

mais d'ou vient la contradiction?

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 29-02-08 à 20:53

euh remplacer n par d bien sur

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 29-02-08 à 21:00

Comment ça?
a est un générateur de \mathbb{F}_{p^d}^* donc a^{p^d-1}=1.
ou le n intervient ?

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 29-02-08 à 21:27

bah t'as montré que a^n=1
donc n=p^d-1...
ah oué non ça marche pas
bon j'ai rien dit!

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 01-03-08 à 10:22

Bon je résume l'intégralité de cet exo (enfin rapido ) :

Je pose  n = pd-1  pour éviter de retaper tout ça.
Xn-1  étant égal au produit des polynômes cyclotomiques de degré d  divisant n , et comme ils sont à coefficients dans Z, la réduction modulo p de cette égalité fourni  Xn-1 = produit des réductions mod p des cyclotomique d'indice  d  divisant n.

On évalue cette relation en  a un élément générateur de Fpd* .
On a alors forcément un indice  d  divisant n  tel que  d(a) = 0   (ici je remets pas des f partout c'est lourdingue comme notation). Le but du ju est de prouver que  d = n .
Si d < n  alors comme d(X) divise Xd-1  on a que  a  est d'ordre inférieur à  d MAIS c'est pas possible car son ordre est  n  par hypothèse.
Donc  d = n  cqfd !

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 01-03-08 à 10:24

Moralité : les polynômes cyclotomiques d'indice n ont pour racines complexes les racines PRIMITIVES n ième de 1 complexe , ici l'exo prouve que leur réduction ont pour racine les PRIMITIVES n ième de 1  dans la clôture de Fp .

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 01-03-08 à 10:29

Merci lolo.

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 01-03-08 à 11:52

Merci

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 01-03-08 à 13:41

de rien c'était un joli exo ,je le ferais faire à mes étudiants

Posté par
robby3
re : Cyclotomie 01-03-08 à 13:52

Citation :
je le ferais faire à mes étudiants

>

Posté par
H_aldnoer
re : Cyclotomie 01-03-08 à 14:06

Il reste une question si je ne m'abuse!

Posté par
lolo217
re : Cyclotomie 01-03-08 à 14:25

non on a déjà dit que  7-1 = 6 .



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