Bonsoir,
je bloque sur cette exercice :
Soit qui envoi le n-ième polynôme cyclotomique dans .
Soit un générateur de
Il faut montrer que .
Puis montrer que n'est pas irréductible dans .
J'ai du mal déjà avec le vocabulaire "générateur".
Je sais que est cyclique donc monogène est finie : .
Je vois pas comment poursuvire.
le polynôme cyclotomique d'indice n divise Xn-1 dans Z[X] , donc son image dans Fp aussi . Et là je te laisse poursuivre.
Pour la suite, il donner un exemple précis pour lequel on a pas l'irréductibilité! (y'avais dans l'énoncé cependant)
Ah oui...
mais f(1) c'est quoi?
parce que moi je vois la fonction f comme une fonction qui prend le polynôme cyclotomique à l'espace départ.
en fait c'est juste une application de dans ?
Oups oui, il existe d divisant n d différent de n telle que .
Il faut arriver à une absurdité ?
La j'arrive à , ce qui implique que
je suis depuis le début...mais:
H>ça vient que a est un générateur de F_p^n *
mais d'ou vient la contradiction?
Bon je résume l'intégralité de cet exo (enfin rapido ) :
Je pose n = pd-1 pour éviter de retaper tout ça.
Xn-1 étant égal au produit des polynômes cyclotomiques de degré d divisant n , et comme ils sont à coefficients dans Z, la réduction modulo p de cette égalité fourni Xn-1 = produit des réductions mod p des cyclotomique d'indice d divisant n.
On évalue cette relation en a un élément générateur de Fpd* .
On a alors forcément un indice d divisant n tel que d(a) = 0 (ici je remets pas des f partout c'est lourdingue comme notation). Le but du ju est de prouver que d = n .
Si d < n alors comme d(X) divise Xd-1 on a que a est d'ordre inférieur à d MAIS c'est pas possible car son ordre est n par hypothèse.
Donc d = n cqfd !
Moralité : les polynômes cyclotomiques d'indice n ont pour racines complexes les racines PRIMITIVES n ième de 1 complexe , ici l'exo prouve que leur réduction ont pour racine les PRIMITIVES n ième de 1 dans la clôture de Fp .
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