Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Une petite démonstration
Bonsoir,
je cherche à montrer "proprement" que :
si on pose
où I={Polynômes Unitaires Irréductibles de avec d|n}
Bonsoir,
ces deux polynômes sont unitaires, pour montrer qu'ils sont égaux il suffit de montrer qu'ils ont mêmes racines(ici les éléments de Fq).
Bonjour Cauchy!!
La seule que j'arrive à montrer que c'est que un facteur irréductible de
à un degré qui divise nécessairement n.
est un facteur irréductible de
donc les racines de Q(X) sont dans une clôture algébrique de
? Ou bien alors sont-elles dans
?
tu veux prouver que Q (X) / Xq-X donc tu prends Q irréductible unitaire de degré d /n où sont ses racines en fonction de d (tu ne peux pas de servir de la conclusion) et tu dois être plus précis que "dans la clôture algébrique"
J'essaye avant tout de voir la stratégie à adopter.
Si on montre que on aura deux polynômes unitaires l'un divisant l'autre. Pour pouvoir conclure il faut qu'il soit de même degré non?
oui mais c'est pas obligé de passer par le degré , l'égalité des degrés est souvent utilisée comme corollaire de ce résultat.
ben faut montrer que les racines de Q sont des racines de X^q-X ce qui équivaut à Q(X)/ X^q -X
puis que les racines de X^q -X sont des racines d'un Q ce qui donnera la divisibilité dans l'autre sens.
Camélia ne l'avait-elle pas déjà rédigé ?
Euh je ne m'en souviens pas.
Mais déjà a la base on prend Q(X) un facteur irréductible de donc forcément
non ?
non à la base Q est un irréductible unitaire de degré d / n DONC ses racines sont dans Fp^d or d/n donc Fp^d est danbs Fp^n et c'est réglé .
Réciproquement si tu prends une racine de X^q -X elle est algébrique de degré d /n sur Fp (puisque dans un Fp^d contenu dans Fp^n) donc annule un irréductible unitaire de degré d .
DONC les racines sontr les mêmes Je tel aisse prouver qu'elles sont toutes simples pour conclure.
On prend donc de degré d un facteur irréductible de
.
Si on appelle x la classe de X, alors x est une racine de dans
.
est un corps puisque Q(X) est irréductible.
On a que est une sous-extension de
(toujours vrai ???)
Il a éléments. Donc
Donc x est bien dans .
x est donc dans .
Donc x est bien racine de .
On a montré que si x est racine de Q(X) alors x est racine de .
C'est fini ??
non pas tout à fait:
a) montrez que les racines de Xq-X sont simples
b) prouvez que les racines de Q sont simples ...oui la on peut le dériver si on veut mais sans le calculer
c) prouvez que Q1 et Q2 n'ont pas de racines communes
Bon le a) ok P(X)=X^q-X implique que P'(X)=-1 donc il a au plus q racines, elles sont toutes simples.
Le b), je dérive quoi parce que j'ai pas d'expression explicite!
tu dérives Q : sa dérivée Q' est de degré plus petit donc
soit Q' est non nul alors Q et Q' sont premiers entre eux et alors ?
soit Q' = 0 et alors ?
oui un irréductible est forcément premier avec un polynôme de degré inférieur : il peut pas le diviser
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac