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valeurs propres de u et de u²
Bonjour à tous,
je bloque sur un exercice où u désigne un automorphisme d'un 
-ev E.
J'ai eu à montrer que 
*
ker(u²-²idE)=ker(u-idE)
(u+idE), puis que si est valeur propre de u alors 2 est valeur propre de u². On me demande enfin de montrer que si u² est diagonalisable alors E est somme directe de sous-espaces propres de u. Mon souci intervient à ce niveau. Je me dis si " si 
est valeur propre de u² alors les deux racines carrées de sont valeurs propres de u" alors la réponse est immédiate( vu la question précédente).
J'aimerais savoir si ma proposition est vraie et si oui comment la montrer, sinon j'aimerais avoir une indication pour répondre à la question.
Je vous remercie d'avance.
non elle n'est pas vraie si ton espace propre pour u^2 est une droite alors une des racines n'est pas valeur propre de u (y a pas de sous espace de dimension 1/2).
Sinon un endomorphisme f est diagonalisable SSI E e st somme directe des espaces propres que tu ajoutes des espaces 0 ne change rien , donc c'est immédiat d'après la question précédente.
Merci. Mais je ne comprend pas trop bien ce en quoi on peut conclure en se limitant à cete propriété
Si u2 est diagonalisable , tu as E = + directe des Ker u2-I = + directe des ( Ker u -rac()I) + (Ker u+ racI) = E
je suis d'accord avec ce que vous voulez direz avec cette égalité, mais qu'est-ce qui montre que les ker(u
) (où est une racine de ) sont des sous espaces propres de u, autrement dit qu'est ce qui montre pour chaque , et - sont valeurs propres de u
ce sont des espaces propres dès qu'ils ne sont pas égaux à {0} : donc si ils sont propres tu es content et si c'est 0 ils n'apparaissent pas et tu es content aussi .
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