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stats inférentielles, Variance d'un estimateur - loi Uniforme

Posté par
Cravotte
01-03-08 à 12:30

Bonjour,

J'ai un exercice corrigé avec un estimateur à trouver, il s'agit d'un loi uniforme sur [0,a]
L'échantillon est composé de n éléments (x1, x2, ….., xn)

F(x)= 1/a sur [0,a],
On trouve E(x)=a/2

On trouve un estimateur â de a, â=2/n (som de i= 1 à n) xi
ça se complique lorsque l'on demande la variance de â

V(â)=E(â²)-[E(â)]² avec E(â)=a

On cherche E(â²)

E(â²) = E [(2/n (som de i= 1 à n) xi)²]
E(â²) = 4/n² E [(som de i= 1 à n) xi² + (som ) xi*xj
Avec 1<=i<=n, 1<=j<=n et i différent de j

Jusqu'ici ca va, après je ne comprends pas pourquoi on prend x1 et x2, et comment on arrive à parler de E(x1) :

E(â²)= 4/n²*nE(x1) + (4(n²-n)/n²)*E(x1)*E(x2)
On a E(x²1) = intégrale t² f(t) dt = intégrale t²/a dt
E(x²1)=a²/3 (ça je comprends)
Et E(x²1)= E(x²2)=E(x)=a/2

Donc E(a²)=(4/3n *a²) +4(1-1/n)a²/4
E(a²)= a²/3n + a²
D'où V(â)=a²/3n


Est-ce que vous pouvez m'éclairer pour la fin de l'exercice
Bon samedi,

cravotte



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