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Dérivée partielle

Posté par
fusionfroide
01-03-08 à 14:05

Salut

Si f est différentiable de R² dans R, je dois dériver g(x,y)=f(y,x)
 \\
Donc voilà ce que j'ai fait :

On considère : (x,y)->(y,x)->f(y,x)=g(x,y) avec g=foh avec h(x,y)=(y,x)=(h1(x,y),h2(x,y))
 \\
Donc : \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}

Est-ce correct ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dérivée partielle 01-03-08 à 14:22

Bonjour

\frac{\partial y}{\partial x} n'a pas beaucoup de sens. Alors conseil universel pour ce genre de blagues. Ecrire les jacobiennes: (je garde tes notations) On a

Jg_{(a,b)}=Jf_{h(a,b)}Jh_{(a,b))}

\(\frac{\partial g}{\partial x}(a,b)\quad \frac{\partial g}{\partial y}(a,b)\)=\(\frac{\partial f}{\partial x}((b,a)\quad \frac{\partial f}{\partial y}(b,a)\)\ \(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\)

Posté par
fusionfroide
re : Dérivée partielle 01-03-08 à 16:31

Merci Camélia !

J'aurai du y penser en effet !

Une autre question :p

On considère 4$z=g(f_1(x_1,...,x_n),...,f_p(x_1,...,x_n)) et on note 4$y_i=f_i(x_1,...,x_n)

On a :  4$\frac{\partial gof}{\partial x_i}=\frac{\partial g}{\partial y_1}\frac{\partial f_1}{\partial x_i}+...+\frac{\partial g}{\partial y_p}\frac{\partial f_p}{\partial x_i}

Il me semblait avoir appliqué cette régle pour cacluler ma dérivée...y a-t-il une erreur dans la formule ?

Merci

Posté par
fusionfroide
re : Dérivée partielle 01-03-08 à 17:28

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dérivée partielle 02-03-08 à 14:42

Non, cette formule est juste, mais c'est seulement une formule et surtout je lui reproche de ne pas dire en quels points on prend les dérivées.

Dans le cas de ton exercice, mettons que tu n'es pas allé jusqu'au bout avec la formule. Tu as h1(x,y)=y, donc ce que tu as noté \frac{\partial y}{\partial x} vaut en réalité \frac{\partial h_1}{\partial x}\red =0 ce qui ne se voyait absolument pas!

Sérieusement, j'ai toujours pensé que ce type de formule crée des pièges énormes alors que les jacobiennes sont indiscutables et faciles d'emploi!



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