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Matrices DDS - Théorème de Hadamard
Bonjour
J'ai un gros exo à faire, et je veux profiter un peu de votre expérience et m'indiquer un peu des pistes 
Partie par partie ! 
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. K un sous corps de R ou C.
Pour tout vecteur du K-espace vectoriel
on note
(norme infinie sur E).
On note B la base canonique de l'espace . Soit u de L(E) un endomorphisme de E et
sa matrice dans la base B. Ainsi, U est la matrice (carré) canonique associée à l'endomorphisme u.
1) On suppose dans cette question que la matrice U n'est pas inversible.
a- Justifier l'existence d'un vecteur x non nul de E tel que u(x)=0
U est inversible ssi rg(U)=n et Ker(U)=0. Puisque U est non inversible, alors Ker(U) différent de 0, et donc il existe x différent de 0 tel que u(x)=0.
b- Prouver qu'il existe i de |[1,n]| tel que
là je bloque et déjà la forme me fait peur !
Merci d'avance
Bonjour
Tu ne vas pas te laisser terroriser par une formule!
Soit (y1,...,yn)=u(x).
On a pour tout j.
Donc
Il existe i tel que .
Pour ce i ça doit coller.
ça permute pas colonne et ligne? sinon j'ai compris le reste
je continue
En déduire qu'il existe i tel que , déésolé mais ausune idée là aussi
Non, je me suis trompée en écrivant directement à l'écran. Ne t'inquiéte pas...
Tu as un x non nul tel que u(x)=0. Remplaces-le par z=x/||x|| qui vérifie aussi u(z)=0 mais qui lui est de norme 1.
oui oui c'est clair ...
Ok on passe à une deuxième partie
Soit .
On dit que M est une matrice à diagonale dominante stricte (DDS) si elle vérifie :
pour tout i :
Justifier: M est une DDS => M inversible (contraposée du résultat de la première partie)
Ce résultat est appelé thm de Hadamard.
Que pensez vous de la réciproque? Elle est fausse ( y a un exemple dans la première partie que j'ai pas tapé ))
3) Dans cette question n=2 ou 3.
Si est un complexe fixé et
un réel positif fixé on note:
(boule fermée, centrée en
de rayon
).
a- Montrer:
si est une racine du polynôme caractéristique de A alors il existe i tel que
C'est le théorème de Gerschgorin !
Eh ben .... j'avoue n'avoir aucune piste là (je n'ai aucune notion de topologie moi) ...
C'est le théorème de Gerschgorin
Enchantée, jamais vu!
Je ne crois pas qu'il faille énormément de topologie. Pour démarrer, je commencerai par dire que
est racine du poly caractéristique alors M-I est non inversible, puis j'essayerais d'appliquer la première question.Bon, une utilité de ce théorème:
Pour chacune des matrices suivantes: sans les calculer, hachurer la partie du plan complexe dans laquelle on est certain de trouver les racines (réelles ou complexes) du polynôme caractéristique (localisation des valeurs propres).
il faut déterminer le i pour trouver le disque en question non?
Oui, c'est moi qui ai posé une question idiote! C'était simplement la définition de la notation B(z,r).
Dans ton cas particulier, ça n'a pas l'air trop fatigant!
Re ... je devais partir hier .. me revoilà
Pour la dernière question j'arrive toujours pas à hachurer la partie où se trouvent les valeurs propres
Ben, pour i=1, la somme pour j
i etc. vaut 1 et pour i=2 elle vaut 2.
On sait que les valeurs propres sont dans une des boules, donc dans leur réunion:
ce qui colle avec la réalité car les valeurs propres sont 0 et -1
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