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Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux.

Posté par
1 Schumi 1
01-03-08 à 15:37

Bonjour à tous,

On vient de commencer l'algèbre linéaire. Je croyais avoir un certain niveau... mais cruelle désillusion: je bloque sur le tout premier exo donné par le prof.

Voici la vilaine bébête:

Citation :

Soit \rm f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. On pose:
\rm D_f=Vect(\{f(a,\bullet),a\in\mathbb{R}\}) et \rm D_g=Vect(\{f(\bullet,a),a\in\mathbb{R}\})

Alors: \rm dim D_f <+\infty \Longleftrightarrow dim D_g <+\infty
et il y a égalité dans le cas de la dimension finie.



Bien sûr, pas question de me donner de soluce. Le but c'est quand même de chercher à le résoudre.
Un nain dix cependant?

Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par
Rodrigo
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 15:54

Salut,
f est bilinéaire?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 15:54

Bonjour Ayoub
Je veux bien t'aider, mais j'ai rien compris. Tes Df et Dg ne sont pas des sous-espaces de R? Qui est de dimension finie?

Posté par
Rodrigo
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:02

Camélia>>Je pense qu'il faut regarder dnas l'espace des applications de R dans R...je veux dire le vect est dans l'espace des applications de R dans R.

Si f est bilinéaire c'est trivial.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:13

Salut Rodrigo
Je me doutais bien de qualque chose comme ça, mais je continue à ne pas voir qui est de dimension finie... L'espace des bilinéaires est bien de dimension finie, non ?

Posté par
Rodrigo
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:14

Justemenbt je pense pas que f soit bilinéaire...sinon c'est trivial...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:19

Je pense qu'il a un énoncé faux. Il est question d'une bilinéaire f : EEE et Im(f(a,?)) et Im (f(?,a)) qui effectivement sont de dimension finie en même temps et si c'est le cas de dimension égale ce qui n'est pas si trivial que ça.

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:33

Salut tout le monde,

Non non, f est une application quelconque de R² dans R. Par exemple f(x,y)=x+cos(y).
Une idée? Je patauge grâââve là.

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:39

Le Vect ça signifie la partie des applications de R dans R engdndré par les f(a,o) dans un cas et f(o,a) dans l'autre.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:53

Salut à tous

Je pense avoir trouvé.
Utilise et montre la propriété suivante :

Soit X un ensemble, n un entier naturel non nul et \Large{(f_1,...f_n)} des fonctions de X à valeurs complexes.

Montre alors que \Large{(f_1,...f_n)} est une famille libre (de l'espace vectoriel des fonctions de X à valeurs complexes) si et seulement s'il existe n éléments \Large{(x_1,...x_n)} de X tels que

\Large{\det(f_{i}(x_j))_{1\leq i,j\leq n}\neq 0}.

(Bon OK, c'est un peu balancé mais je n'ai trouvé que ça ).

Autre chose : pour montrer ton truc, essaie plutôt de montrer les contraposées.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 16:54

P.S : pour la propriété énoncé précédemment, ça marche dans le cas général ou les fonctions sont à valeurs dans le même corps \Large{\mathbb{K}}.

Kaiser

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 18:23

Euh, Kaiser, je tiens à repréciser que c'te exo a été posé juste après le premir cours d'algèbre linéaire. Généralement on parle pas trop des déterminants de fonction dans ce cours...
Plus sérieusement, le prof sait très bien que j'ai des connaissances qui sont encore hors-cours. Mais il ne sait pas que j'ai des connaissances sur les matrices et donc a fortiori sur les déterminants...

T'es sûr qu'il n'y a pas d'autres alternatives?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 18:28

Ce n'est pas un déterminant de fonctions : les \Large{f_i(x_j)} sont des scalaires.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 18:30

Sinon, je pense qu'on peut contourner le problème : es-tu censé avoir des connaissances sur les système linéaires, sur la notion de dimension d'un espace vectoriel etc . (bref, peux-tu me faire un bref listing de ce que tu es censé connaitre ?)

Kaiser

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 18:30

Oui mais je n'ai aucune connaissance (ou presque) sur les déterminants, même sur les déterminants de scalaires d'ailleurs...

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 18:34

Oui bien sur, je pense que c'est plus simple:
Notion d'ev, de sev, de bases, d'espaces supplémentaires, de dimension d'un ev (théorème de base incomplète et tout ce qui s'en suit)et ça doit être tout. Enfin, il n'est pas censé savoir autre chose.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 18:36

OK (je reviens dans une petite demi-heure)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 19:49

J'ai peut-être une autre idée, mais bon un peu théorique. On va raisonner avec des formes linéaires.

On va commencer par raisonner par contraposée.

On va faire un sens, l'autre sens se fait de la même façon.

On suppose donc que \Large{D_f} est de dimension infinie.

Considérons donc un entier naturel n non nul, alors il existe n réels tels que la famille \Large{\{f(a_1,.),...f(a_n,.)\}} soit libre (à montrer, si ce n'est pas clair).

Considère alors \Large{V_{n}=Vect(f(a_1,.),...f(a_n,.))}.

Essaie alors d'injecter \Large{V_n} dans le dual de \Large{D_g}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 01-03-08 à 21:02

oops, je crois que ça revient à démontrer la propriété énoncée plus haut (mais au lieu de parler de la non nullité du déterminant, on parle de l'unicité de la solution d'un système linéaire).

J'essaie de voir comment on peut simplifier ça.

Kaiser

Posté par
perroquet
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 02-03-08 à 00:33

Bonsoir.

Si on utilise l'axiome du choix, il y a une solution assez simple, que je n'écrirai pas complètement puisque  1 Schumi 1 demande seulement une indication.

Supposons que D_f est de dimension finie, et notons \phi_1, \ldots, \phi_n une base de cet espace.
Alors, pour tout x de R, il existe \lambda_1(x),\ldots,\lambda_n(x) tel que:
f(x,\bullet)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i(x)\phi_i
donc tel que:
\forall y\in {\mathbb R}\quad f(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i(x) \phi_i(y)
Mais alors ...

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 02-03-08 à 06:21

Kaiser >> Je te dis pas de déterminant et tu me parles de de dual?

perroquet >> Bien vu! J'avais pas du tout pensé à considérer les lambda_i en tant que fonction. Je vais voir ça de plus près!

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 02-03-08 à 14:15

Schumi > le dual c'est un bien grand mot pour dire l'ensemble des formes linéaires.

Kaiser

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 02-03-08 à 16:17

Ah bon. Au temps pour moi alors Kaiser.
Quand j'aurai des connaissances suffisantes en déterminant et tout ce qui va avec; j'essaierai ta démo: on dirait que c'est plus zoli comme méthode.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 02-03-08 à 16:31

OK.

Kaiser

Posté par
1 Schumi 1
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 06-03-08 à 14:19

perroquet (ou toute personne susceptible de répondre)>>

Euh simple 'tite question (merci au fait pour le nain dix):

Pourquoi utiliser l'axiome de choix? Ici ce n'est pas nécessaire puisqu'on travaille en dimension finie... J'ai loupé un épisode?

Posté par
perroquet
re : Premier exo d'algèbre linéaire: blocage monstrueux. 09-03-08 à 20:12

Bonjour, 1 Schumi 1.

Tu as raison, il est inutile d'utiliser l'axiome du choix.
(En utilisant mes notations): je n'avais pas réfléchi au fait que les lambda_i(x) étaient définis de manière unique (et donc, il n'y a pas besoin de l'axiome du choix).



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