Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Représentation concrete des corps finis

Posté par
robby3 01-03-08 à 17:01

Bonjour à tous, juste deux questions...
Dans mon cours,j'ai ceci:

Sur F_2,on considere P_2(X^2+X+1) et P_3(X)=X^3+X+1
ils sont de degrés\le 3 et sans racine dans F_2,donc irréductibles.
Un corps de rupture de P_d(X) est une extension de degré d de F_2 donc isomorphe à F_{2^d}.
Ainsi F_4 \approx F_2[X]/(P_2(X)) et F_8\approx F_2[X]/(P_3(X)).

Soit \alpha l'image de X dans F_4.
Alors \{1,\alpha\} est une base de F_4 sur F_2. donc F_4=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}

En fait je sais pas pourquoi,mais je comprend pas que
\{1,\alpha\} est une base de F_4 sur F_2??
Quelqu'un peut-il me l'expliquer?
Et ensuite pourquoi F_4=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:09

Salut robby

1ère question :

\Large{\mathbb{F}_4} est un \Large{\mathbb{F}_2}-espace vectoriel de dimension 2 donc une base est de cardinal 2. Ainsi, comme \Large{\{1,\alpha\}} est une famille libre (on a un isomorphisme donc envoie la famille libre (1,X) sur une famille libre), alors c'est une base (puisqu'on en dimension 2).

2ème question :

\Large{\mathbb{F}_4} est un ensemble de cardinal 4, donc si on trouve 4 éléments distincts qui appartiennent à cet ensemble, on les aura tous trouvés.
Ces 4 éléments conviennent (ils appartiennent bien à cet ensemble et sont bien distincts)

Kaiser

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:16

Salut Kaiser

j'essaye de faire le meme raisonnement avec F_8.

F_8 est un F_2-espace vectoriel de dimension 3,donc une base est de cardinal 3,comme \{1,\alpha,\alpha^2\} est une famille libre(on a un isomorphisme qui envoie \{1,X,X^2\} sur F_8),c'est donc une base car de cardinal 3.

F_8 est est un ensemble à 8 éléments,il faut donc trouver 8 éléments distincts qui appartiennent à cet ensemble.

Comment on a trouver tout à l'heure \{0,1,\alpha,1+\alpha\}??

Posté par
H_aldnoerre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:22

kaiser :

\mathbb{F}_4^* est un groupe multiplicatif cyclique d'ordre 3. On a  (\mathbb{F}_4^*,\times) qui est isomorphe à (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)

(\mathbb{F}_4,+) est isomorphe à ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2,+) en tant qu'anneau mais non en tant que corps.

(\mathbb{F}_4,+) n'est pas isomorphe à ((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}),+) l'un est cyclique l'autre pas.

affirmatif ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:23

Citation :
Comment on a trouver tout à l'heure \{0,1,\alpha,1+\alpha\}??


Comme \Large{\{1,\alpha\}} est une base, alors les éléments de ce corps s'écrivent \Large{x+y\alpha\}} avec x et y dans \Large{\mathbb{F}_2}. On prend tous les couples possibles pour (x,y) (enfin, pour ce cas, c'est plus simple de dire qu'il doit contenir 0, 1 (car c'est un corps) mais aussi \Large{\alpha} et donc aussi \Large{1+\alpha} (car il doit être stable par +)).

Ici, comme tu as une base, tu peux faire la même chose.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:25

H_aldnoer >

1) affirmatif
2) affirmatif (car le deuxième n'est pas un corps)
3) affirmatif

Kaiser

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:29

Donc si j'ai bien compris les éléments de F_8 s'écrivent x+\alpha.y+\alpha^2.z ou x,z et y sont dans F_2.

donc on a \rm \{0,1,1+\alpha,1+\alpha^2,1+\alpha+\alpha^2,\alpha+\alpha^2,\alpha et\alpha^2 \} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:31

robby > toutafé !

Kaiser

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:36

Kaiser,
Quand on dit \{1,\alpha\} est une famille libre,il faut le montrer?

autre chose,il est écrit, \{1,\alpha\} est une base de F_4 sur F_2
la précision est importante pour trouver les éléments de F_4 ensuite n'est-ce pas?

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:39

de maniere générale,
\{1,\alpha,...,\alpha^{n-1}\}est une base de F_{p^n} sur F_p??
Donc les éléments de F_{p^n} vont s'écrire a_0+\alpha.a_1+...\alpha^{n-1}.a_{n-1} ou les a_i sont dans F_p ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:42

Citation :
Quand on dit \{1,\alpha\} est une famille libre ,il faut le montrer?


oublie ce que j'ai dit tout à l'heure, je l'avais mal montré.
mais bon, ce n'est pas compliqué : par division euclidienne, on sait que tout élément de \Large{\mathbb{F}_4} est engendré par ces deux éléments, donc comme on est en dimension 2, c'est une famille libre.

Kaiser

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:46

par division euclidienne?

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:47

robby > message de 17h39

pour l'histoire de la base : ce n'est vrai que si n est le degré d'un polynôme P irréductible sur \Large{\mathbb{F}_p} et \Large{\alpha} un racine de P dans \Large{\mathbb{F}_{p^n}}.
Dans ce cas, la suite de ton message est correct.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:47

(merci kaiser!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:52

Citation :
par division euclidienne?


Par définition \Large{\mathbb{F}_{p}[X]/(1+X+X^2)} est l'ensemble des classes modulo l'idéal (1+X+X²) (en particulier la classe de 1+X+X² est nulle)
Ainsi, si P est un polynôme quelconque, on peut trouver a, b et un polynôme Q tel que P=(1+X+X²)P+aX+b donc la classe de P est la classe de aX+b.
Ainsi, ça veut dire que tout élément de ce quotient est combinaison linéaire des classes de X et de 1 (et donc via l'isomorphisme dont il est question dans l'énoncé, tout élément sera combinaison linéaire de 1 et de \Large{\alpha} , car les classes de 1 et \Large{\alpha} s'envoient respectivement sur 1 et \Large{\alpha}).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:52

H_aldnoer >

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:58

Kaiser > message de 17:47 ok.

j'essaye un autre,
je considere h(X)=X^3-X+1 dans F_3[X].
il est irréductible.

On sait alors que F_3[X]/(h(X)) \approx F_{27}
Donc une base de F_{27} sur  F_3 est \{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}
ou \alpha est une racine du polynome h(X) dans F_{27}.
(ou \alpha est l'image de X dans F_{27},c'est "pareil").

les éléments de F_{27} seront de la forme
\rm x+\alpha.y\alpha^2.z+\alpha^3.t ou \alpha_i \in F_3 \\

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 17:59

Kaiser > message de 17h52 ok.

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:08

message de 17h58 : non, ce n'est pas une base, il faut se limiter aux 3 éléments \Large{1,\alpha , \alpha^2} pour avoir une base (c'est jusqu'à n-1)

Kaiser
P.S : pour écrire des nombres en indices, s'il y a plusieurs caractères, n'oublie pas d'utiliser des accolades.

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:14

ah oui on est dans F_3!!
Donc les éléments de F_{27} sont de la forme x+\alpha.y+\alpha^2.z ou x,y,z sont dans F_3.

Si je raisonne avec ton message de 17h52,c'est mieux?

je considere la division euclidienne:
P=(X^3-X+1).Q+X^2+bX+c ou a,b,c \in F_3.
Donc la classe de P=la classe de X^2+bX+x
donc tout élément de F_3[X]/(X^3-X+1) est combinaison linéaire de 1,X et X^2...d'ou \{1,\alpha,\alpha^2\} est une base de F_{3^3=27} sur F_3.
ok?

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:22

oui, ou alors sans parler de division euclidienne, tu dis utilises un résultat générale de cours qui dit si K est un corps, L une extension de K et a un élément de L algébrique sur K de degré n, alors \Large{1,a,...a^{n-1}} est une famille libre.

Kaiser

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:29

Ok d'accord, merci bien de ces explications Kaiser, je comprend mieux comment ça marche.

PS:Si tu en as le temps et les moyens,peux-tu modifier l'expression du polynome au début,la bonne expression est celle de 00:50.
Merci à toi Kaiser.

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:33

Je t'en prie !

sinon, 00h50 ? quel message de 00h50 ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:35

pardon dans ce topic! corps de décomposition et carré dans Fq

Posté par
H_aldnoerre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:37

kaiser, calculer dans \mathbb{F}_4, nous sommes en caractéristiques 2

je note (1,a) la base.
u,v des scalaires.
donc (u+va)^2=u^2+(va)^2=u^2+v^2a^2=u+va^2 ?
c'est bien ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:40

oui

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:40

robby > corrigé !

Posté par
H_aldnoerre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:44

On a \mathbb{F}_4\mathbb{F}_8=\mathbb{F}_{64} mais pourquoi ?

Posté par
robby3re : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 18:44

Merci!

Posté par
kaiser Moderateurre : Représentation concrete des corps finis 01-03-08 à 19:19


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !