Histoire d aires

Posté par Victor Victor

Un triangle équilatéral et un hexagone régulier ont le même périmètre. L'aire du triangle est de 2004 cm².

Quelle est l'aire de l'hexagone ?

Bon courage.
Clôture de l'énigme : dimanche soir.

@+

Posté par dad97 dad97

Bonsoir,

Un hexagone régulier est composé de 6 triangles équilatéraux de longueurs de coté h donc sont périmètres vaut 6h.
Le périmètre d'un triangle équilatéral de longueur de coté c est 3c.

On a donc 3c=6h soit
les triangles équilatéraux formant l'hexagone sont donc de coté "deux fois plus petit" que le triangle équilatéral et donc ont une aire 4 fois plus petite que le triangle équilatéral.
Par conséquent si l'aire du triangle équlilatéral est de 2004 cm² (je vois que 2004 fut un grand cru pour les problèmes mathématiques en sera t-il de même pour 2005 ) alors l'aire d'un des six triangles équilatéraux formant l'hexagone régulier sera de et donc l'aire de l'hexagone sera de

Salut

Posté par la_fureur (invité)

Salut!
J'dirais A = [racine(8016/racine3)*3*racine3]/4
88.37cm²

J'crois que j'vais me faire virer du classement
Mais bon le plus important c'est de participer.

@+

Posté par Anthony Anthony

hexagone a pour aire 2004 cm²

vu qu'il n'y a qu'un étoile au sujet pas de alcul  
( mais s'il y aurait eu 4 étoile j'aurais fait un dessin avec le calcul )

Posté par gilbert (invité)

L'égalité des périmètres signifie que le côté de l'hexagone (6côtés égaux) est la moitié de celui du triangle (3 côtés égaux).
La surface d'un hexagone est égale à celle de 6 triangles équilatéraux de côté celui de l'hexgone.
L'aire d'un triangle équilatéral dont le côté est la moitié d'un autre triangle équilatéral est 4 fois plus petite que celle de l'autre .
Donc Aire Hexagone = 6/4 *2004 = 3006 cm2.

Posté par fallbal (invité)

je vais essayer de trouver mais bon je suis de moin en moins sur de moi tout au long des calcul

dsl pour les fautes d'orthographes

on a ^ signifi puissance (2^2=2²)
soit h la hauteur du triangle et c la longueur d'un de ses coté on a h²+(c/2)²=c²(1)
et l'air du triangle est A= 2(h * c/2) (2)
grace a (2) on obtien  A/c=h
on remplace dans (1)  (A/c)²=3c²/4
donc c^4=4A²/3
donc c= (2A)^(1/2)/3^(1/4)
on a m coté de l'hexagone on a 3c=6m  donc m=c/2

on a donc m= (2A)^(1/2)/(3^(1/4)*2)


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or la somme des angles d'un hexagone regulier doit etre egale a 720°
on a donc chaque angle qui est egal a 720/6=120°
on peut decomposer l'hexagone en un rectangle central de coté m et y et deux triangle isocéle lateraux  leur coté egaux valant m et leur 3 eme etant y

les angles de la base du triangles isocéle valent
120-90=30°
on note k la hauteur issue de l'angle de 120° des triangles

(dsl c'est trés confut il faudrais un schema )

on a cos(30)=y/2 x 1/m
et sin(30)= k x 1/m
donc y= 2m cos(30)
et k= m sin(30)
or l'aire du rectangle est Ar= m * y=2m²cos(30)
l'aire d'un triangle est At = 2(k*y/2)=2m²cos30*sin30
donc l'air total est  Atot= Ar+ 2At
Atot=2m²(cos30+2*cos30*sin30) or
2 cos30 sin30 = sin (2*30)
donc Atot= 2m²(cos 30 + sin 60)

on calcule donc
Atot= 2* ((2A)^(1/2)/(3^(1/4)*2))² * (2* (3^(1/2)/2))
Atot= 2* (2A/(3^(1/2)*4))*3^(1/2)
Atot=A
Atot= 2004 cm²
il n'y  a donc pas de changement d'aire ce qui me parais trés etrange enfin bon je ne sais pas, peut être....

Posté par mizoun (invité)

salut
bon alors on note A l'aire du triangle
                   A' l'aire de l'hexagone
                   c le coté du triangle
                   c' le coté de l'hexagone
par hypothese on a 3xc=6xc'  donc c'=1/3c
A=1/2xhxc or c²=h²+(1/2c)² donc h=racine3xc/2
A'=3/2xc'²xracine3

A=1/2 x (racine3 x c /2) x c = 1/2 x racine3/2 x c²
donc c²=4A/ racine3
d'oû c'²=1/9 x 4A/ racine3
A'=3/2 x 1/9 x 4A/ racine3 x racine3
A'=1336 cm²
CQFD

Posté par franz franz

Un bon dessin valant mieux qu'un long discours


Si le périmètre du triangle est le même que celui de l'hexagone, le côté de l'hexagone est la moitié de celui du triangle.
On montre que le triangle peut être constitué de 4 triangles bleus et l'hexagone de 6.
L'aire de l'hexagone vaut donc de celle du triangle soit

              3006 m²

Posté par somarine (invité)

Bonsoir,

soit x la longueur du triangle et a celle de l'hexagone.

L'aire d'un trangle est (base*hauteur)/2
la base=x
on calcule l'hauteur grâce au théorème de pythagore et on a h²=0.25x²
h=3 x/2
donc aire=3 x²/4=2004
donc x=((4*2004)/3)
x=4(((3*167)/3)

Par ailleurs on a 3x=6a
donc a=2*(((3*167)/3)

Reste à calculer l'aire de l'hexagone
l'hexagone régulier est inscrit dans la cercle de rayon a.
On découpe cet hexagone en 6 triagle équilatéraux.
On a donc A(hexagone)=6*A(triangle)

APrès le calcul de l'huateur comme précédemment, on traouve que l'aire de l'hexagone vaut 3006 cm²

Aire de l'hexagone=3006 cm²

C'est bon?

Posté par pinotte (invité)

Connaissant l'aire, on arrive à trouver la mesure d'un côté du triangle, qui est de c 48,1 cm. Son périmètre est donc de P 144,31 cm.

Ce périmètre est également celui de l'hexagone, ce qui indique que la mesure d'un côté est d'environ 24,05 cm. On peut calculer la mesure de l'apothème de l'hexagone, et on trouve que a 20,83 cm.

Finalement, on peut calculer l'aire de l'hexagone, et on obtient 1503 cm².

Posté par ofool ofool

Bonjour,

  3006cm²    

Posté par prof17 (invité)

3006cm²

Posté par juliannem (invité)

Bonjour. La réponse que je crois juste , est que j'ai trouvée à cette question est 3003 cm2 .
Prenons L la longueur des côtés du triangle équilatéral .En effet , l'aire du triangle équilatéral est égal à (L*hauteur)/ 2
On trouve donc ainsi que h=racine carrée de (L2-(L2/4))car L2 (lire L carré) = (L/2)carré+hcarré
Donc , l'aire du triangle équi. est égale à (L*(racine carrée de (Lcarré-Lcarré/4))/2. On peut ainsi factoriser l'intérieur de la racine par L pour marquer que l'aire est égale à Lcarré * racine de 3/4 le tout sur 2. Donc , on trouve que le L est égal à 68. On trouve donc, que comme le périmètre du triangle est égal à celui de l'hexagone , que l (côté de l'hexagone) est égal à 68/2 soit à 34. Or l'aire de l'hexagone régulier est égale à (3racine de 3)/2 * lcarré. Donc on trouve , en remplaçant l par 34 , que l'aire de l'hexagone est approximativement de 3003 cmcarré

Posté par Victor Victor

Bonsoir,

6 bonnes réponses et 6 réponses fausses pour cette énigme à une étoile. On pouvait effectivement la résoudre au niveau collège (voir la réponse de dad97).
Bravo pour les gagnants...

A bientôt pour une nouvelle énigme...

Posté par benaisa benaisa

choisissant A comme cote de triangle et x comme cel de l'hexagone regulier.3A est egal a 6x ce qui donne A est egal 2x cherchant A aire de triangle est A carre sur 4 d'ou on a x est racine de 2004 aire de l'hexagone est 3fois recine de 3 fois x carre tout divise par 2 d'ou l'aire est 5206.54 cm carre

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Soit un hexagone qui a un côté égal à celui du triangle. Il peut être divisé en six modèles de ce triangle et son aire est 12024 cm².
Le hexagone du problème a un côté moitié de celui du premier et donc une aire quatre fois plus petite.
L'aire cherchée est donc 3006 cm².