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Petite explication corps de décomposition

Posté par
robby3
01-03-08 à 22:27

Bonsoir tout le monde,
juste une question,j'ai vu que F_{p^n}/F_p était un corps de décomposition du polynome cyclotomique \phi_{q-1}(X) et que c'était meme une extension Galoisienne.

Mais je croyais que F_{p^n} était le corps de décomposition du polynome X^{p^n}-X.

Quelqu'un peut-il m'éclaircir ceci?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 22:44

Re robby

Je ne vois pas où est le problème.
L'un n'empêche pas l'autre.

Kaiser

Posté par
robby3
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 22:47

Donc les deux choses sont Vrai?
F_q est corps de décomposition à la fois de X^{p^n}-X et \phi_{q-1}(X)
(bien sur q=p^n)

Posté par
kaiser Moderateur
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 22:59

Oui, les deux choses sont vraies.

Par définition, le corps de décomposition d'un polynôme est le corps engendré par ses racines.
Notons K le corps de décomposition de ce polynôme cyclotomique. Les racines du polynômes cyclotomique sont les racines (q-1)-ième primitives de 1.
Le groupe multiplicatif engendré par ces racines est le groupes des racines (q-1)-ième de 1 (car justement primitive signifie qu'elle engendre ce groupe).

Ainsi, K, qui est engendré par ces racines primitives, puisque c'est un corps, est stable produit et donc contient toutes les racines (q-1)-ième de 1, c'est-à-dire les racines du polynômes \Large{X^{q-1}-1}.
K contient 0, donc contient les racines du polynôme \Large{X^{q}-X} c'est-à-dire \Large{\mathbb{F}_q}.

Par ailleurs, \Large{\mathbb{F}_q} contient toutes les racines (q-1)-ième de 1 donc a fortiori toutes ses racines primitives et donc comme c'est un corps, il contient le corps engendré par celles-ci d'où l'égalité attendue.

Kaiser

Posté par
robby3
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 23:06

Alors là
on ne peut-etre plus clair.

J'ai deux dernieres petites questions si ça t'ennuie pas.

j'ai ceci:
Dans F_9,on a X^8-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+X+2)(X^2+2X+2)
X^2+1 n'étant pas,bien qu'irréductible le polynome minimal d'aucun des 4 éléments primitifs.

>je ne comprends pas la derniere phrase.

Autre chose,j'ai lu,chaque polynome minimal d'un élément de F_q apparait une et une seule fois dans X^q-X donc tout polynome minimal autre que X est cyclotomique.

>Pourquoi celà?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 23:29

Citation :
>je ne comprends pas la derniere phrase.


Tu peux me dire dans quel contexte est apparu cette remarque (peut-être à titre de contre-exemple, non ?).

Citation :
>Pourquoi celà?


Pour la première partie (avant le donc), tu veux que je réexplique, où tu l'as vu en cours ?

Pour la deuxième partie qui est sans doute moins évidente, je réfléchis.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 23:31

J'ai une question qui rejoint la décomposition proposé par robby :

Pourquoi l'écriture de la décomposition de X^8-1 en facteurs irréductibles nous donnes une décomposition de X^4+1 ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 23:35

H_aldnoer > \Large{X^{8}-1=(X^4+1)(X^4-1)=(X^4+1)(X^2-1)(X^2+1)=(X^4+1)(X-1)(X+1)(X^2+1)}

Kaiser

Posté par
robby3
re : Petite explication corps de décomposition 01-03-08 à 23:36

pour la premiere partie,
c'était suite à la phrase:
"il existe exactement \Phi(q-1) éléments primitifs dans K(corps de cardinal q) correspondant aux \frac{\Phi(q-1)}{n} polynomes sur F_p.
Cependant il peut y avoir d'autres polynomes irréductibles de meme degré:
Dans F_9..."

pour la 2eme partie:
je sais que X^q-X est le produit des polynomes minimaux distincts des éléments de F_q.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Petite explication corps de décomposition 02-03-08 à 00:19

Pour la première partie, c'est simplement pour dire qu'il n'y a pas d'équivalence entre être irréductible et être le polynôme minimal d'un primitif.

Pour la deuxième partie : il faut peut-être utiliser le fait que \Large{X^{q-1}-1} est égal au produit des polynômes cyclotomiques d'ordre d avec d divisant q-1.

Kaiser

Posté par
robby3
re : Petite explication corps de décomposition 02-03-08 à 00:25

Ok Kaiser!!
Merci pour tout!
Je vais me reposer et laisser ça mijoter tout ça...
A bientot Kaiser,bonne nuit,je repasserais qu'en fin de semaine prochaine.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Petite explication corps de décomposition 02-03-08 à 00:28

OK, à la prochaine !

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Petite explication corps de décomposition 02-03-08 à 08:50

kaiser :
à propos de 23:31 et 23:35 : on me demande de montrer que X^4+1 est réductible dans \mathbb{F}_p[X] pour tout p premier.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Petite explication corps de décomposition 02-03-08 à 15:18


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