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détermination des groupes d'ordre n
Voila l'exo:
Il s'agit de déterminer tous les groupes, à isomorphismes prés, d'ordre n pour 1
n7.
On sait que le seul groupe d'ordre 1 est le groupe trivial réduit à l'élément neutre.
(1) Donner la réponse pour n=2,3,5,7
(2) Démontrer qu'un groupe d'ordre 4 est isomorphe à 
/4 ou à /2*/2 et que ces deux groupes ne sont pas isomorphes entre eux.
(3) Démontrer que /2*/2 est caractérisé, à isomorphisme prés, par l'existence d'un système générateur constitué de deux éléments a et b d'ordre 2 qui commutent.
Appliquer ce résultat au groupe de Klein des ismoétries du plan affine conservant un (vrai) rectangle (donc pas un carré)
(4)cas n=6
(i) démontrer que si G est abélien, il est isomorphe à /6
(ii) démontrer que si G est non abélien, il est isomorphe à S3
Voila, alors je n'ai aucune idée de comment traiter cet exo je suis complétement larguée.
dans le (1) il faut forcément utiliser le fait que n est premier mais je ne trouve aucun théorème du cours qui utilise cela.
Enfin si vous pouviez à démarrer pour traiter ces questions ça serait sympa
merci!
Bonjour
(1) Un groupe d'ordre n premier est forcément cyclique (en gros parce qu'il ne peut pas avoir un sous-groupe non trivial dont l'ordre diviserait n)
(2) Premier cas: Il existe un élément d'ordre 4; alors c'est cyclique isomorphe à Z/4Z.
Deuxième cas: Il n'y en a pas. Alors G=(e,a,b,c) avec a,b,c d'ordre 2. Commence par montrer que G est commutatif, puis que ab=c, puis construis l'isomorphisme!
C'est déjà pas mal!
Deuxième cas: Il n'y en a pas. Alors G=(e,a,b,c) avec a,b,c d'ordre 2
je ne comprends pas pourquoi a,b,c doivent être d'ordre 2...
merci pour le reste
Salut,
les éléments distincts de e sont d'ordre >1 et doivent diviser l'ordre du groupe =4 d'après le théorème de Lagrange,
donc si il n'y en a pas d'ordre 4, ces éléments sont tous d'ordre 2.
Deuxième cas: Il n'y en a pas. Alors G=(e,a,b,c) avec a,b,c d'ordre 2. Commence par montrer que G est commutatif, puis que ab=c, puis construis l'isomorphisme!
En fait il n'y a pas besoin, on a vu précédemment (exo 10) qu'un tel groupe est isomorphe à
il ne me semblait pas avoir vu le théorème de Lagrange dans le cours
regarde le théorème 1.2.1.1
ok le prof a dit de réviser la partie 1.1 donc je ne suis pas allée aussi loin 
autant pour moi, jvais ptètre la lire alors
Par contre comment montrer que ab=c (dans le cas où il n'y a pas d'élement d'ordre 4) ?
oui mais déjà l'exo 8 sur les groupes cyliques ça me parait difficile sans le théorème de Lagrange.
si alors
, impossible,
si alors
, impossible,
de même ,
donc .
Pour la (3), je ne vois pas ce qu'il faut faire:
Appliquer ce résultat au groupe de Klein des isométries du plan affine conservant un (vrai) rectangle (donc pas un carré)
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