Bonsoir,j'avais décider de laisser un peu les corps finis de coté mais voilà que Camélia y a pris gout
(ça serait possible une correction avant mardi?)
pour a) je trouve un truc long et horrible.

pour b)
irréductible sur isomorphe à

aprés ça coince.

Salut !


pour la a) on peut éviter d'horrible calcule en ce placant dans une cloture algébrique et en montrant que D=P(a)P(b) ou a et b sont les zéros de P'. (résultat général pour un polynome unitaire, qu'on montre en commencant par remarquer que D=P'(a1)P'(a2)P'(a3)/3³, puis en factorisant P'... enfin on a aussi le droit de conaitre les formules pour le discrimiant d'un polynome du troisime degré, mais c'est de la triche :p )

pour la b) il faut examiner si d=(a1-a2)(a2-a3)(a3-a1) qui à la base est dans une extension de Fp est ou non dans Fp, ce qui est équivalent à dire si D est ou non un caré, et pour cela on peut par exemple calculer d^p=(a1^p-a2^p)(a2^p-a3^p)(a3^p-a1^p) en examinant les différents cas selon que les racines de P soit toute dans Fp, une dans Fp et deux dans Fp², ou toute les trois dans Fp³ (P n'as deux racine double que dans F23, ce cas doit etre traité à part)



en revanche je n'arrive pas à déterminer qu'elles sont les p pour lesqu'elle P est scindé et qu'elles sont ceux pour lesquelles il est iréductible...
quelqu'un sais comment on fais cela ?

j'ai pas tout saisi dans ce qu'a dis Ksilver...
Je repasserais demain.

1) d'après la question 2 faut trouver  D = -23.
2)  si   D  est un carré  , on doit pouvoir prouver que Fp(a1,a2,a3) =
Fp(a1)=Fp(a2)=Fp(a3)  et donc cette extension est de degré 1 ou 3 ce qui est demandé .On aura ainsi prouvé ii) entraîne i)

Si  D n'est pas un carré  P n'est pas scindé .....

Mais bon dodo  

Alors  avec un zeste de théorie de Galois, le discriminant est un carré ssi le groupe de Galois est un sous-groupe de  A3 = Z/3Z . Comme il n'y a que {e}  et Z/3Z et que ces alternatives correspondent à l'extension triviale ou une extension de degré 3 pour le corps de décomposition , on a le résultat et c'est indépendant du polynôme P de degré 3 et aussi du corps .

cela étant sans théorie de Galois...je sèche.

Re,
faut qu'on m'explique comment on peut trouver D=23!
surtout qu'avec des a1,a2,a3?

Bonjour à tous

Je reviens, et tout le monde s'est déchainé! Alors avec peu de connaissances: juste le fait que la somme des racines vaut 0 et leur produit 1.

a)

En faisant tourner les indices



b) Je fais la démonstration presque à la main, mais sans utiliser la théorie de Galois. Je laisse un peu de temps au temps...

Comme toujours je n'aime pas laisser un exo sans solution...

b) (i)(ii)

On a déjà vu que si P est scindé -23 est un carré. Supposons P irréductible, donc sans racines et soit a une racine dans une extension. Alors a^p est aussi racine (Frobenius), et alors P est scindé dans l'extension F_p[a] qui est de degré 3. Le calcul précédent montre que -23=b² dans celle-ci. Mais comme elle ne contient aucun sous-corps de degré 2, on a nécessairement bF_p

(ii)(i)

On doit montrer que si P a une racine a dans F_p (ce qui élimine le cas p=2), elles y sont toutes. Soient a₂ et a₃ les autres racines dans une éventuelle extension.

D'abord, a₂+a₃=-aF_p

Ensuite, on peut écrire P(X)=(X-a)Q(X) avec QF_p[X]. Si Q(a)=0, a est racine multiple et P est scindé. On peut supposer que Q(a)0.

Par ailleurs, toujours d'après la première question,

(a₂-a₃)²=-23(a-a₂)^-2(a-a₃)^-2=-23(Q(a)^-2)

Si -23 est un carré, ceci montre que a₂-a₃F_p

Comme p est impair, 2 est inversible, donc a₂ et a₃ sont dans F_p.

jolie preuve : tout vient de  a^p  racine  quand  a l'est.
(je vois pas le  b²=-23  donc b est dans Fp  dans la première implication..b estune racine elle ne peut pas être dans Fp ? (.mais ça ne sert pas)

l'idée est que le groupe de Galois sur  Fp  est engendré par le Frobenius et dans le cas irréductible les racines sont bien  a, a^p,a^{p^2}  (on est pas obligé de parler de groupe de Galois pour le voir)

ok j'ai vu le  b  (j'avais cru que b  était une racine)

Merci lolo217, je m'apprêtais à re rédiger.

De rien, en tous cas la longueur de la solution montre...que la théorie de Galois peu servir à gagner du temp !

Cela dit ,
i) le fait que les racines soit de somme nulle est toujours vrai quitte à faire une translation convenable des racines et donc ça ne change pas la valeur du discriminant
ii) si le produit n'est pas 1 mais est dans Fp ça ne devrait pas changer grand chose à la preuve.

Bref, il me semble que ta démonstration donne l'équivalence entre
a) le disriminant est un carré et b) P est scindé ou irréductible

pour n'importe quel polynôme sur Fp  de degré 3 ? ce qui me semble très intéressant.

Dis lolo, tu peux nous faire une 'tite démo version Galois stp?

>lolo217 Tu as probablement raison, mais dans ce genre de choses tant que l'on n'a pas tout écrit... Par exemple à première vue, si le produit (donc le terme libre) n'est pas un carré de F_p n'aurait-on pas un problème? Comme j'étais en train de faire des corps finis avec les jeunes débutants, je me suis astreinte à faire très élémentaire; le théorème de conservation des embêtements fait que du coup j'ai fait plein de calculs, donc il faudrait vérifier à chaque étape si je n'utilise rien de particulier au polynôme.

A revoir...

Schumi : la preuve avec Galois est au dessus 12h58

Camélia : oui bien sûr y a du boulot ! Laissons Robby ou Haldoner essayer de rédiger ça pour voir s'ils ont bien tout assimilé

Excellent principe pédagogique! D'accord! A vous, les jeunes...

5 you lolo, j'avais zapé ce post.