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démonstration cos3x

Posté par
berserking
02-03-08 à 16:36

Bonjour,

On me demande :

1) développer l'expression de cos 3x
2) Montrer que cos 3x = cos^3x-3sin²xcosx
et que : cos 3x = 4cos^3x-3cosx

Le 1) cos (3x) = cos (2x+x) = cos 2x.cosx - sin2x.sinx
Mais voila pour le 2, je ne vois pas, il doit y avoir des transformations à faire, mais je ne sais pas par où commencer :/

Merci d'avance

Posté par
gui_tou
re : démonstration cos3x 02-03-08 à 16:40

Bonjour

cos(2x) = cos(x + x) = cos(x).cos(x) - sin(x).sin(x) = cos²(x)-sin(x)
sin(2x) = sin(x + x) = sin(x).cos(x) + cos(x).sin(x) = 2sin(x)cos(x)

Posté par
Marcel Moderateur
re : démonstration cos3x 02-03-08 à 16:43

Bonjour,

cos(2t) = 2.cos²(t)-1
sin(2t) = 2.sin(t).cos(t)

cos(3t) = cos(2t+t)
= cos(2t).cos(t) - sin(2t).sin(t)
= [2.cos²(t)-1].cos(t) - 2.sin²(t).cos(t)
= [2.cos²(t)-1].cos(t) - 2.[1-cos²(t)].cos(t)
= 2.cos³(t)-cos(t)-2.cos(t)+2.cos³(t)
= 4.cos³(t)-3.cos(t)

Posté par
gui_tou
re : démonstration cos3x 02-03-08 à 16:52

bonjour Marcel

Posté par
berserking
re : démonstration cos3x 02-03-08 à 16:56

merci de vos aides

Posté par
berserking
re : démonstration cos3x 03-03-08 à 10:59

Je n'arrive franchement pas à trouver cos 3x = cos^3x-3sin²xcosx

Au mieux, je trouve 2cos^3x-cosx-2sin²x.cosx.

Posté par
berserking
re : démonstration cos3x 03-03-08 à 14:33

up

Posté par
Marcel Moderateur
re : démonstration cos3x 03-03-08 à 17:59

cos(3t) = 4.cos³(t)-3.cos(t) = cos³(t)+3.cos³(t)-3.cos(t) = cos³(t)-3.cos(t).[-cos²(t)+1] = cos³(t)-3.cos(t).sin²(t)

Posté par
berserking
re : démonstration cos3x 03-03-08 à 18:01

Je n'avais pas pensé à le faire dans ce sens la...

Merci Marcel

Posté par
algeriano
voila c est simple 05-05-14 à 13:13

  bien sur on a
   cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
  et sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
  et sin²x+cos²x = 1
donc :cos3x = cos(2x+x)= cos2x.cosx - sin2x.cosx
                 = cos(x+x).cosx -sin(x+x).sinx = {(cosx.cosx)-(sinx.sinx).cosx}-{(sinx.cosx + cosx.sinx). sinx }  
                 = (cos^3(x)- sin²(x).cosx) - (sin²(x).cosx -sin²(x).conx)                  
                 = cos^3(x)- 3 sin²(x).cosx                
                 = cos^3(x)- 3(1- cos²(x)).cosx
                 = cos^3(x)+{-3 + 3cos²(x)}.cosx
                 = cos^3(x)-3cosx+3cos^3(x)
                 = 4cos^3(x)-3cosx
    
       on est arrive au résultat voulu
  



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