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Niveau autre
Holomorphe
Posté par alexis0587
Bonjour,
Pour justifier que l'intégrale de z^m sur le disque unité avec m>0 est égale à 0, il suffit seulement de dire que z^m est holomorphe. Il est ensuite immédiat qu'elle est intégrable et que d'après le théorème de Cauchy, l'intégrale est nulle.
Ma Justification est elle bonne?
Merci 
Bonjour alexis0587
Citation :
Pour justifier que l'intégrale de z^m sur le disque unité avec m>0 est égale à 0
Pour justifier que l'intégrale de z^m sur le disque unité avec m>0 est égale à 0
Sur le cercle unité plutôt !
Sinon, ta justification est correcte (mais pourquoi précises-tu qu'elle est intégrable ?)
Kaiser
Oui sur le cercle unité
Quand j'ai dit qu'elle était intégrale, en fait je voulais dire qu'une primitive de cette fonction existe sur le cercle considéré !!
Merci Kaiser
OK, cela dit, sans utiliser le théorème de Cauchy, tu peux montrer que cette intégrale est nulle en la calculant explicitement (on est sur le cercle dont ça se paramètre facilement).
Kaiser
Oui mais prenons le cas, de 1/z, elle est bien holomorphe sur C*, et pourtant son intégrale sur le disque unité n'est pas 0.
:s
C'est parce que dans ce cas, le cercle fait le tour de 0, là où la fonction possède une singularité.
N'oublie pas que dans le théorème de Cauchy, on a soit des hypothèses sur l'ouvert, soit des hypothèses sur la fonction, soit des hypothèses sur le lacet.
par exemple, si l'ouvert est convexe, ou étoilé (et plus généralement simplement connexe), alors l'intégrale d'une fonction holomorphe sur n'importe quel lacet de cet ouvert est nulle.
n'est pas simplement connexe donc il n'y pas de contradiction.
Kaiser