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Niveau Maths sup
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produit de groupes

Posté par
romu
02-03-08 à 17:10

Bonjour,

je bloque sur cet exercice:

Citation :
Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G.

(1) Démontrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK=KH.

(2) Généraliser au cas de n sous-groupes H_i.

On suppose de plus que H\cap K=\{e_G\}.

(3) Montrer que \mbox{Card}(HK) = \mbox{Card}(H)\times \mbox{Card}(K).

(4) Est-il vrai que HK est isomorphe au produit direct H\times K.


Je bloque à la question (4), merci pour votre aide.

Posté par
kaiser Moderateur
re : produit de groupes 02-03-08 à 17:22

salut romu

Non, ce n'est pas vrai.
Essaie de trouver un contre-exemple avec H et K abéliens vérifiant HK=KH mais tel que HK ne soit pas abélien.

Kaiser

Posté par
romu
re : produit de groupes 02-03-08 à 17:24

salut Kaiser,

merci du tuyau je vais chercher ça dans S_3, les quaternions ou le diédral alors, je n'en connais pas vraiment d'autre abélien.

Posté par
kaiser Moderateur
re : produit de groupes 02-03-08 à 17:26

Tu voulais sans doute dire "non abélien" ?
oui, l'un des 3 va marcher

kaiser

Posté par
romu
re : produit de groupes 02-03-08 à 17:29

oui bien sûr, non abélien.  

Posté par
romu
re : produit de groupes 02-03-08 à 19:03

ok dans S_3, je pose

H=<(1,2)> et K=<(1,2,3)>,

j'ai bien H et K abélien, et HK=KH=S_3.

H\times K est abélien et HK non abélien, donc ils ne sont pas isomorphes,

c'est bien ça?

Posté par
kaiser Moderateur
re : produit de groupes 02-03-08 à 19:15

C'est bien ça, par contre, pourrais-tu justifier brièvement pourquoi HK=KH ?

Kaiser

Posté par
romu
re : produit de groupes 02-03-08 à 19:27

en fait je l'ai fait à la main (c'était pas si bref).

Posté par
kaiser Moderateur
re : produit de groupes 02-03-08 à 19:32

OK !
Pour une réponse brève, tu peux remarquer que K est distingué dans \Large{\mathcal{S}_3} :

- soit parce tous les 3-cycles contenus dans K et conjugués entre eux.
- soit parce que K est d'indice 2

Le fait que K est distingué implique automatiquement que HK=KH

Kaiser

Posté par
romu
re : produit de groupes 02-03-08 à 19:48

ok je vais essayer de montrer ces deux critères de sous-groupes distingués,

merci Kaiser.

Posté par
kaiser Moderateur
re : produit de groupes 02-03-08 à 19:50

Mais je t'en prie !



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