probleme de symetrie

Posté par acdc01 (invité)

bonjours a tous jai un exercice a faire et je trouve pas de theoreme pour cet exercice:voila mon exercice!

ABC est un triangle
H est le pied de la hauteur issude de A.
I et K sont les mileux repectifs de [AB] et [AC]

a)faire la figure
b)demontrer que H est le symetrique de A par rapport à la droite (ik)  

merci pour le coup de main

Posté par Emma (invité)

Salut acdc01

Tout d'abord, un petit rappel : si A est bien le symétrique de H par rapport à (IK), c'est que (IK) est la médiatrice de [AH]

Donc, ici, ce qui serait bien, c'est de montrer
1) que (IK) est perpendiculaire à (BC)
2) que le point J,  intersection de (IK) et (AH) est en fait le milieu de [AH]

JE te laisse réfléchir un peu aux outils dont tu dispose pour montrer un paralléisme de droite et qu'un point est le milieu d'un segment...

En attendant de tes nouvelles...
@+
Emma

Posté par acdc01 (invité)

oui mais s'est sa le probleme c'est que je connai pas les theoremes.j'ai compris pour la mediatrice mais apres je te suis plus!(desole les math c'est plus mon fort)!

en attentand de tes nouvelles...
@+
acdc01

Posté par acdc01 (invité)

je m'excuse mai chez moi (ik) n'est pas perpendiculaire a [bc] mais parallele et comment demontrer que j milieu de AH

Posté par Emma (invité)

   je voulais dire "<font color="red">(IK) perpendiculaire à (AH)</font>" bien sûr (pour que ((IK) puisse être la médiatrice de [AH])

Mais j'ai vendu la mèche sans le voiloir : j'ai parlé de la droite (BC)...  

Alors voilà, je me lance pour le premier point :

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J celui de [AC].
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux (cas particulier du théorème de Thalès), on en déduit que (IK) est parallèle à (BC).

Or, par hypothèse, (AH) est la hauteur de ABC issue de A.
Donc (BC) est perpendiculaire à (AH)

Or (IK) est parallèle à (BC).
Donc (IK) est également perpendiculaire à (AH).

Pour ce qui est est de montrer que J est le milieu de [AH] :
Dans le triangle ABH, on sait que A, I et B sont alignés dans cet ordre, de même que A, J et H.
Or (IJ) est parallèle à (BH)   (car (IJ)=(IK) et (BH)=(BC)...)

Donc, d'arpès ....

D'après quoi ?

Posté par acdc01 (invité)

ba je ne vois toujours pas ou tu veux en venir.comment tu vois que (ij)=(ik) et (BH)=(BC) parce que moi ils ne sont pas du tous egaux a moins que tu sois dans un triangle isocele mais la le triangle est quelconque.

Posté par Emma (invité)



Ce que je voulais dire par '(BC) = (BH)', c'est que les droites (BH) et (BC) sont confondues

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Par définition de H (pied de la hauteur de ABC issue de A), H appartient à (BC), non ?

Donc les points B, H et C sont alignés, non ?

Donc c'est pareil de parler de la droite (BC) ou de la droite (BH), non ?
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De même, j'ai introduit le point J comme étant l'iintersection de (IK) avec(AH)
Mais alors, en particulier, J appartient à (IK).
Et donc la droite (IK) est la même que la droite (IJ), non ??

Posté par acdc01 (invité)

sa ne me dit tjoujours pas comment faire pour demontrer que H est le symetrique de A par rapport a h

encore desole mais donne moi la solution tout de suite!parce que je te suis plus beaucoup

merci pour ton aide

Posté par Emma (invité)

pfff.. Si tu ne veux faire aucun efort, j'abandonne...
Voici donc ce que tu peux recopier sur la copie :

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Dans le triangle ABC, on sait que I est le milieu de [AB] et K celui de [AC].
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux (cas particulier du théorème de Thalès), on en déduit que (IK) est parallèle à (BC).

Or, par hypothèse, (AH) est la hauteur de ABC issue de A.
Donc (BC) est perpendiculaire à (AH)

Or (IK) est parallèle à (BC).
Donc <font color ="red">(IK) est également perpendiculaire à (AH).</font>


D'autre part, soit J le point d'intersection des droites (IK) et (AH)
(montrons que  J est le milieu de [AH] ) :

Dans le triangle ABH, on sait que A, I et B sont alignés dans cet ordre, de même que A, J et H.
Or
* J appartient à (IK)
* H appartient à (BC)
* (IK) est parallèle à (BC)
Donc (IJ) est parallèle à (BH)

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès on a donc :
=   (= )

Or I est le milieu de [AB]. Donc =

Donc =
Et donc <font color ="red">J est le milieu de [AH].</font>



Ainsi, (IK) coupe le segment [AH] perpendiculairement en son milieu.
Donc (IK) est la médiatrice du segment [AH].
Et donc, <font color ="red">l'image de H par la sumétrie d'axe (IK) est le point A</font>

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Emma

Posté par acdc01 (invité)

je ne veux pas recopier car c'est un controle et pas un exo.je voulais savoir comment resoudre le probleme car si je tombe dessus lundi je serai content de lavoir compri et qu'on ma expliqué.

je te remercie pour ton aide et ta patience
@+

Posté par Emma (invité)

Si tu as compris, c'est le principal