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Groupes/sous-groupes
Hello,
J'aimerai que l'on m'aide au sujet d'un exercice que je trouve assez compliqué (sans doutes facile pour vous 
). Les démonstrations "abstraites" sont un peu nouvelles pour moi, c'est la raison pour laquelle j'ai besoin d'un modèle pour débuter et pouvoir appliquer sur les autres exos de mon bouquin.
Le voici:
Soit E un ensemble non vide et B l'ensemble des bijections de E sur E:
a) Démontrer que (B,°) est un groupe (° désigne la composition des applications)
Mes idées:
-E est un ensemble non vide, donc il existe au moins une bijection dans E qui peut être l'application identité => B non vide
-La composée d'une bijection d'un groupe sur ce même groupe est une application interne => ° est une loi interne dans B (je doute de ce point)
-B possède un élément neutre qui est l'application identité (??)
Là où je bloque: comment montrer que ° est associative?
J'ai essayé, mais je pense que c'est faux (car comment justifier le passage d'une égalité à l'autre):
Soient f, g et h des applications bijectives de E dans E, éléments de B.
D'une part on a:
f(x) ° (g(x) ° h(x))= f(x)° g[h(x)]= f[g[h(x)]]
Et d'une autre part on a :
(f(x) ° g(x)) ° h(x)= f[g(x)] ° h(x)= f[g[h(x)]].
° est donc associative?
-Tout élément de B est symétrisable dans B car ° est associative et l'élément est une bijection. Le symétrique d'une bijection est l'application réciproque car on a alors f ° f-1=Id, et f-1 ° f=Id avec Id élément neutre.
b)Démontrer que si E= {a} ou E= {a,b}, le groupe (B, °) est abélien (Il faut expliciter B)
Mes idées:
Pour la première partie de la question
-si je prends deux applications f et g du groupe (B, °), on a f ° g= a (car c'est une bijection dans E, comme E est formé d'un seul élément toutes les images de a sont a) et g ° f=a. D'où f°g=g°f et (B, °) abélien. Que veut dire "expliciter B"?
Pour la seconde partie de la question
-raisonnement par disjonction des cas?
c)Démontrer que si le nombre d'éléments de E est supérieur à 3, (B,°) n'est pas abélien.
A-t-on le droit d'utiliser un contre exemple? Par exemple, f(a)=2a+1 et g(a)=2a, on a f ° g= 4a+1 et g°f=4a+2. Soit c l'élément de E tel que b= 4a+1 et c=4a+2. On reste toujours dans la définition de B (puisqu'on a des éléments de E comme antécédents et images) mais f°g différent de g°f: B n'est pas abélien.
d)Les ensembles suivants est-il un sous-groupe de B?
C=ensemble des bijections f de E sur E telles qu'il existe un élément de E invariant par f.
Aucune idée pour ce point. 
D= ensemble des bijections de f de E sur E telles que f(a)=b
E=ensemble des bijections de f de E sur E telles que f(a)=a
Alors pour la 1ère, je dirais non (mais je ne sais pas comment le montrer), pour la seconde non aussi (il n'y a pas d'élément neutre, donc ce n'est pas un groupe? enfin, je dis ça un peu au hasard) et pour la troisième oui.
Merci pour une éventuelle aide, mon problème principal est que j'ai plus ou moins les idées (même fausses ) mais du mal à les mettre à plat, c'est à dire à les mettre sous forme de rédaction.
PS: je l'ai mis dans "terminale" parce que dans certains pays (le mien) on voit les structures algébriques en terminale, s'il faut déplacer ce topic...
édit Océane : forum modifié
Bonjour
-E est un ensemble non vide, donc il existe au moins une bijection dans E qui peut être l'application identité => B non vide
-La composée d'une bijection d'un groupe sur ce même groupe est une application interne => ° est une loi interne dans B (je doute de ce point)
premier point : OK
deuxième point : dis plutôt que la composition de deux bijections de E dans E est encore une bijection de E dans E, donc ° est interne dans B
-B possède un élément neutre qui est l'application identité (??)
Là où je bloque: comment montrer que ° est associative?
J'ai essayé, mais je pense que c'est faux (car comment justifier le passage d'une égalité à l'autre):
Soient f, g et h des applications bijectives de E dans E, éléments de B.
D'une part on a:
f(x) ° (g(x) ° h(x))= f(x)° g[h(x)]= f[g[h(x)]]
Et d'une autre part on a :
(f(x) ° g(x)) ° h(x)= f[g(x)] ° h(x)= f[g[h(x)]].
° est donc associative?
l'application identité est effectivement une bijection de E dans E, et est neutre vis-à-vis de la composition des applications.
pour l'associativité, problème de rédaction : ° porte sur les bijections, pas sur les éléments de E
rédige plutôt :
pour tout x de E, (f°(g°h))(x)= f((g°h)(x))=f(g(h(x)))
et ((f°g)°h)(x)=(f°g)(h(x))=f(g(h(x)))
donc f°(g°h) = (f°g)°h, ceci pour toutes bijections f, g, h de B
Ensuite, le symétrique est bien la bijection réciproque.
pour le cas E={a}, il n'y a dans B que l'identité (pas d'autre choix que a pour f(a))
pour le cas E={a,b}, on a l'identité, et l'"échange" : f(a) = b et f(b) =a
B={Id, f}
Id°f = f°Id = f, donc le groupe B est commutatif
c)Démontrer que si le nombre d'éléments de E est supérieur à 3, (B,°) n'est pas abélien.
A-t-on le droit d'utiliser un contre exemple? Par exemple, f(a)=2a+1 et g(a)=2a, on a f ° g= 4a+1 et g°f=4a+2. Soit c l'élément de E tel que b= 4a+1 et c=4a+2. On reste toujours dans la définition de B (puisqu'on a des éléments de E comme antécédents et images) mais f°g différent de g°f: B n'est pas abélien.
hep hep hep !
1) f°g est une application, pas un élément de E
2) en plus, 4a+1 ou 4a+2 n'a probablement aucun sens dans E ....
construis à partir de trois éléments a, b, c, deux bijections qui ne vérifient pas f°g(a)=g°f(a)....
Merci beaucoup et bonjour 
construis à partir de trois éléments a, b, c, deux bijections qui ne vérifient pas f°g(a)=g°f(a)
Ah, c'est vrai, je me suis emmêlée les pinceaux. Ma nouvelle rédaction:
Soit la bijection f de E sur E: a->b et la bijection g de E sur E: a->b
b->c b->a
c->a c->c
(f ° g)(a)=f(a)=c
(g ° f)(a)=g(b)=a
On a donc f°g différent de g °f : B n'est plus abélien à partir de 3 éléments distincts dans E.
Cette nuit, j'ai fini l'exercice, et voici ma réponse à la question D:
d)Les ensembles suivants est-il un sous-groupe de B?
. C=ensemble des bijections f de E sur E telles qu'il existe un élément de E invariant par f.
J'ai commencé par dénombrer les bijections en question et il y en a 4:
T: a->a g: a->a h: a->c j: a->b
b->b b->c b->b b->a
c->c c->b c->a c->b
On a bien C inclus dans B (car B est l'ensemble de toutes les bijections possibles). C n'est pas vide.
Le symétrique d'une de ces bijections est elle-même (on peut le montrer en étudiant chaque bij une par une, mais c'est fastidieux
). D'où, pour toutes bijections f et f' de C:
f ° f'-1=f°f'. Or f°f' appartient à C car on manipule toujours a, b et c avec comme seuls images et antécédents possibles a, b et c. C est donc un sous-groupe de (B,°).
D= ensemble des bijections de f de E sur E telles que f(a)=b
Dénombrons les bijections f de D:
T: a->b g: a->b
b->c b->a
c->a c->c
L'élément neutre étant l'application identité, recherchons le symétrique de T
T-1: b->a
c->b
a->c
Cette bijection n'appartenant pas à D (car T-1(a) différent de b), les éléments de D ne sont pas tous symétrisables dans D et D n'est alors ni un groupe ni un sous-groupe.
E=ensemble des bijections de f de E sur E telles que f(a)=a
Hop, voici les bijections possibles:
Id: a->a et T: a->a
b->b b->c
c->c c->b
On a bien E inclus dans B, avec E non vide. Id ° T=T et T ° Id=T appartiennent à E et T-1=T
Id-1=Id appartenants à E. E est donc un sous-groupe de B.
Voilà pour l'exercice, il est beaucoup plus long mais je pense avoir compris le reste. J'en profite pour poser une petite question d'un autre exo et qui me bloque:
Soit (G,*) un groupe, e son élément neutre
C est l'ensemble des x appartenant à G tel que pour tout y appartenant à G on ait x*y=y*x
(peut-être que j'ai mal traduit, c'est écrit en mathématique:
Soit C={x
G/
y G x*y=y*x}
Démontrer que C est un sous-groupe de (G,*). Ce qu'il me manque, c'est comment montrer que C est stable pour *?
Encore merci beaucoup Lafol! Sans ce forum, je n'arriverais jamais à "toucher" (on va dire "frôler") des maths un peu plus intéressante que celles du lycée
.Alors pour le premier sous ensemble : j'appelle les applications I,A, B,C (A est celle pour laquelle a est invariant, b et c sont échangés, etc)
A°B(a)=A(B(a))=A(c)=b
A°B(b)=A(B(b))=A(b)=c
A°B(c)=A(B(c))=A(a)=a
A°B n'a aucun invariant : le sous ensemble n'est pas stable par composition donc n'est pas un sous groupe
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