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Algèbre de Lie

Posté par
Shake
03-03-08 à 14:22

Bonjour,

j'ai un énorme problème pour réussir à répondre à la question suivante :

Montrer que T l'ensemble des matrices M de Mn,n(C) telle que P^-1 M P soit triangulaire supérieur est une algèbre de Lie résoluble de longueur n
avec P une matrice inversible dans C de taille n*n

PS : Une algèbre de Lie résoluble de longueur n est une algèbre de Lie tel qu'il existe Uo, U1,...,Un algèbres de Lie tel que

{0}=Un C Un-1 C ... C Uo=T

je vois pas du tout comment faire :s ...

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre de Lie 03-03-08 à 15:03

Si tu regardes des matrices triangulaiures de plus en plus petite (i.e) triangulaire puis tirangulaire avec des 0 sur la diagonales et tu elève une surdiagonale à chaque fois., ce doit clairement te donner ta suite Un d'algèbres de Lie.

Tu peux aussi savoir mais c'est moins élémentaire que l'ensemble des méatrices triangulaires supérieures est un groupe de Lie resolutble et examiner son algèbre de Lie.

Posté par
Shake
re : Algèbre de Lie 03-03-08 à 16:27

Alors si j'ai bien compris : pour k=0 Uo= T donc c'est l'ensemble de départ rien à redire

si k = 1 U1 est l'ensemble des matrices M tel que P^-1 M P soit triangulaire supérieur avec des 0 sur la diagonale

puis pou k=2 de même tel que la diagonale et la surdiagonale de P^-1 M P sont nulles

et ainsi de suite ..

Donc en fait il réste plus qu'à montrer que ces ensembles sont des algèbres de Lie

c'est ca ?

Posté par
perroquet
re : Algèbre de Lie 03-03-08 à 21:33

Bonjour, Shake.

Si je ne me trompe pas, tu es en train de demander une indication pour la 11ème question du sujet MP des Mines 2007. Pour traiter cette question, il y avait une question qui précédait et une indication ...

Posté par
Shake
re : Algèbre de Lie 03-03-08 à 21:41

oui c'est exactement ca

Posté par
perroquet
re : Algèbre de Lie 03-03-08 à 22:08

Exceptionnellement, je te communique un corrigé de cette question, écrit en TEX.


Pour tout $k$ compris entre 0 et $n$, notons $E_k$ le sous-espace de $\C^n$ engendr{\'e} par les $k$ premiers vecteurs
colonnes de la matrice $P$. Une matrice $A$ est donc dans $\ca N_k$ si et seulement si
$$\overline A(E_n)\subset E_{n-k},\ \overline A(E_{n-1})\subset E_{n-1-k},\ \dots,\ \overline A(E_k)\subset E_0.$$

\vskip 3mm
Pour $k$ entier compris entre 0 et $n-1$, montrons que $[\ca N_k]\subset \ca N_{k+1}${\,}:

\begin{liste}
  \item si $k\geq 1$ et si $A$ et $B$ sont deux {\'e}l{\'e}ments de $\ca N_k$, on a pour tout $i$ compris entre $k+1$ et $n${\,}:
\begin{eqnarray*}
\overline{[A,B]}(E_i)&\subset&\overline{A}(\overline{B}(E_i))+\overline{B}(\overline{A}(E_i))\\
&\subset&\overline{A}(E_{i-k})+\overline{B}(E_{i-k})\\
&\subset&E_{i-k-1}
\end{eqnarray*}
car $k\geq 1$. On a donc $[A,B]\in \ca N_{k+1}$.
  \item si $k=0$ et si $A$ et $B$ sont deux {\'e}l{\'e}ments de $\ca N_k$, les matrices $AB$ et $BA$ sont triangulaires sup{\'e}rieures et ont m{\^e}me diagonale{\,}:
  la matrice $[A,B]$ est donc diagonale sup{\'e}rieure stricte, i.e. que $[A,B]\in \ca N_{k+1}$.
\end{liste}
Dans tous les cas, $[\ca N_k]\subset \ca N_{k+1}$ puisque $\ca N_{k+1}$ est un sous-espace
vectoriel.

\vskip 3mm
Ceci prouve que la suite $(\ca N_0,\ca N_1,\dots ,\ca N_n)$ est une suite d'alg{\`e}bres de Lie v{\'e}rifiant les propri{\'e}t{\'e}s (A) et (B){\,}: $\ca
T_P$ est donc une alg{\`e}bre de Lie r{\'e}soluble de longueur $n$.

\vskip 3mm
{\bf Remarques{\,}:} la longueur obtenue ici n'est pas optimale. Par exemple, quand $n=4$, $\ca T_P$ est une alg{\`e}bre de Lie r{\'e}soluble de
longueur 3, puisque $[\ca N_2]=\{0\}$.

\vskip 3mm
Cette question prouve en fait une implication du th{\'e}or{\`e}me 2{\,}: si $\ca U$ est une alg{\`e}bre de Lie dont les {\'e}l{\'e}ments sont simultan{\'e}ment
trigonalisables, il existe une matrice inversible $P$ telle que $\ca U\subset \ca T_P$. On obtient alors que $\ca U$ est r{\'e}soluble de
longueur $n$ en consid{\'e}rant la suite $(\ca U\cap \ca N_k)_{0\leq k\leq n}$.

Posté par
Shake
re : Algèbre de Lie 04-03-08 à 15:12

perroquet désolé mais comment on fait pour lire un topic écrit en tex ?

Posté par
perroquet
re : Algèbre de Lie 09-03-08 à 20:17

C'est en effet difficile à lire.
Je n'ai rien de mieux à proposer.



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