Amusette (groupes d'ordre 12)

Posté par Camélia Camélia

Bonjour à tous.

A) Soit . Pour tout entier n on pose



Montrer que l'ensemble de ces matrices, muni de la multiplication des matrices forme un groupe non commutatif qui a 12 éléments et qui n'est isomorphe ni au groupe diédral ni au groupe alterné .

Ce groupe est (mal) connu sous le nom de groupe dicyclique. On peut démontrer (au marteau pilon, Sylow+produit semi-direct ou artisanalement, mais fastidieusement) qu'un groupe non commutatif d'ordre 12 est isomorphe à un de ces trois groupes.

B) Voici une liste de groupes. Pour chacun s'assurer qu'il s'agit d'un groupe non-commutatif d'ordre 12 et dire auquel des trois groupes précédents il est isomorphe.

1)

2) le groupe des rotations de l'espace qui transforme un tétraèdre régulier en lui-même.

3) le sous-groupe de engendré par les permutations suivantes:



4) l'ensemble des fractions rationnelles où a,b,c,d sont des éléments de tels que ad-bc=1, muni de la composition des fractions rationnelles. (Pour les savants: c'est une présentation naïve de )

C) Donner d'autres exemples "concrets" de groupes non-commutatifs d'ordre 12. En particulier, je n'ai pas réussi à trouver un entier n tel que dans le groupe des bijections affines de il y ait un sous-groupe isomorphe au dicyclique.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonsoir Camélia,

C'était ça l'exo dont tu nous en avais parlé? Sympa en effet...

A)
Je te prie de bien vouloir me faire confiance pour la vérification du fait qu'il s'agisse bien d'un groupe. (J'ai grâââve la flemme de tirer le LaTex pour les matrices là).
Pour preuve de ma bonne foi, je te donne quand même la table de multiplication: (ma bonté me perdra, je sais ).
A_i=A₁ⁱ
A_iB_j=B_i+j
B_jA_i=B_j-i
B_iB_j=A_i-j+3
Je pense pas avoir oublié un cas...

Il n'est visiblement pas isomorphe au diédral D₆. (Faut dire qu'il n'y a pas énormément d'élément de ce groupe qui sont d'ordre 2 ).
Par contre, n'ayant jamais vraiment étudié A₄, je vais l'admettre pour l'instant. Je reviendrai dessus plus tard.

B)
1) Il est clairement d'ordre 12 (6*2=12, si si je t'assure) et non abélien (S3 ne l'étant pas).
Par élimination, je dirais qu'il est isomorphe à A₄ mais sans grande conviction.
2) Rotation dans l'espace? Faudra que j'aille voir mon cours de géo, ça devient urgent.
3) Il est évidemment un groupe non commutatif d'ordre 12. se comporte comme A₁ et comme B₁. Je prétends donc que ce groupe est isomorphe au dicyclique.


Je réflechis encore un peu pour le reste. Ca se corse.

5 you.

Ayoub.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

4) C'est un groupe d'ordre 12 (4*3=12 en effet) et on vérifie qu'il n'est pas commutatif. Rien de bien étonnant puisque la composition est rarement commutative.
On prend A= (aX+0)/(cX+d) (où a est non nul et ad=1) et B=(0X+b)/(cX+0) (où b est non nul et bc=-1).
A se comporte comme A₁ et B comme B₁; j'ai pas vérifié complètement la table de muliplication mais je pense qu'il n'est pas trop farfelu de penser que ce groupe est aussi isomorphe au dicyclique.

Par contre, la suite, j'essaye même pas.


Ayoub.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Je retire mon dernier message. A se comporte pas du tout comme A1, n'importe quoi

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Camélia
et si tu essayais avec le cube de Rubik ?

Posté par Camélia Camélia

Resalut

Pour l'instant je laisse Ayoub soliloquer...

Bonjour plumemeteore. Je ne vois pas trop quoi essayer avec le cube de Rubik, peux-tu m'expliquer?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

A) Bon, je me suis renseigné un peu sur A₄. Le dicyclique n'est pas isomorphe à A4 car ce dernier est engendré par deux éléments d'ordre 3. Le dicyclique n'a clairement pas deux éléments dstincts qui l'engendrent.

B)

2) J'ai revu mon cours de géo.
Oui, c'est clairement un groupe non commutatif d'ordre 12 (c'est toujours les mêmes vérifications).
En faisant un 'ti dessin, on peut représenter un tel tétraèdre par (a,b,c,d). Les rotations qui le transforment en (a,b,c,d) en (a,d,b,c) (rotation de "la base" du tétraèdre) et celle qui transforment (a,b,c,d) en (b,c,a,d) (rotation sur "une face latérale" du tétraèdre) engendrent notre groupe.
Du coup ce groupe est isomorphe A₄ il me semble.

Posté par Camélia Camélia

>Ayoub

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Camélia >>




Ayoub.

Posté par Camélia Camélia

> Ayoub

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Camélia >>

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

J'ai compris l'inutilité de me denier message après l'avoir posté.
Je tente une coorection de tir:

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Abandon en ce qui me concerne. J'arrive pas à voir les éléments qui engendrent c'te groupe. (Plus précisemment, j'ai grâââve la flemme de trouver tous les éléments et après de trouver la table de multiplication ).

Par contre pour la C) j'ai mis mon prof à contribution. J'attends sa réponse.


Ayoub.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pas de correction?

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour

Ayoub avait pratiquement tout fait! Pour le groupe de A) on voit bien qu'il a 12 éléments, A₁=A est d'ordre 6, B₁=B est d'ordre 4 ce qui suffit à assurer le fait que les inverses sont dedans. Tu as bien fait la stabilité pour la multiplication. En fait reste à voir que AB et BA sont dedans.

On admet donc que les groupes d'ordre 12 non commutatif sont de 3 espèces: qui n'a pas d'élément d'ordre 6, le dicyclique qui a un élément d'ordre 6 et un élément d'ordre 4 et le diédral qui a un élément d'ordre 6, mais pas d'élément d'ordre 4.
En utilisant ceci:



le groupe du tetraèdre est isomorphe à

les permutations et engendrent un dicylique (ça demande un peu de vérifications; on voit bien que est d'ordre 6 et d'ordre 4 et on vérifie qu'en envoyant A sur et B sur on définit bien un isomorphisme.

Pour 4) j'ai été surprise que personne ne reconnaisse les fonctions homographiques qui se composent exactement comme les matrices se multiplient. le groupe ici décrit, est isomorphe à , engendré par xx+1 qui est d'ordre 3 et par x-1/x qui est d'ordre 2.

^{S'il y a une demande je veux bien rédiger un exo sur les fonctions homographiques à coefficients dans F_p}

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Et pour la dernière question? Toujours rien?


Tu l'as ta demande.

Posté par Camélia Camélia

OK! je vais m'y mettre. Pour la dernière question, je crois bien que ça n'existe pas mais je n'ai pas vraiment cherché (pas le temps, vous m'épuisez... )

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Nous? Mais on est gentil comme tout...