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problème polynômes

Posté par
anyone
04-03-08 à 13:51

bonjour, voici un problème que j'ai du mal à résoudre :

Soit n E N*, on considère T:Kn[x] Kn[X] qui à tout polynome P E Kn[X] associe le poly P(X+1)-P(X)
1) montrer que T est un endomorphisme de Kn[X]
j'ai montré qu'elle est linéaire > ça marche !

2) on pose P0=1 et pour tout k E {1,....,n} Pk = [X(X-1)...(X-k+1)] / k!
a. montrer que {P0, .. Pn} est une base de Kn[X]
> j'ai du mal a montré que cette famille est libre
b. calculer T(Pk) pour tout k E {1,....,n}
c. en déduire Ker(T) et Im(T) (on pourra utiliser la décomposition dans la base {P0, .. Pn}

3) a. calculer pour tout (i;j)E {1,....,n}², Ti(Pj)(0)  (Ti= To...oT)
b. en déduire P(X) = k=0n Tk(P)(0).Pk(X)
c. dans le cas où n=5, calculer les coordonnées de X4 dans la  base  {P0, .. ,P5}

merci de m'aider .. je suis bloqué à la question 2 pour l'instant

Posté par
jeanseb
re : problème polynômes 04-03-08 à 13:57

Bonjour

2a: Les polynômes sont de degrés tous différents, donc forment une famille libre.Comme il y en a  n+1, c'est une base.

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 14:02

ça suffit comme justification ?

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 14:07

pouvez vous m'aider pour le calcul de T(Pk) ..? je n'y arrive pas .. merci

Posté par
jeanseb
re : problème polynômes 04-03-08 à 14:15

Citation :
ça suffit comme justification ?


Oui.

Sinon, tu considères une combinaison linéaire 2$\rm C_n =\Bigsum_{k=0}^n a_k P_k = 0

Or Cn est de degré n, et son coefficient dominant est an/n!. Donc an = 0. Donc le coefficient dominant est an-1/(n-1)!, qui est donc nul. Par récurrence, tu montres que tous les ak sont nuls. Donc que le système est libre.

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 14:24

oui, j'avais fait quelquechose dans ce genre la ^^

pour T(Pk)
j'ai : [ ((X(X+1)..(X-k+2))(X(X-1)...(X-k+1)) ] / k! si je ne me suis pas trompé
mais a partir de la, je bloque

merci ^^

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 15:02

je voulais dire  [ ((X(X+1)..(X-k+2))-(X(X-1)...(X-k+1)) ] / k!

Posté par
jeanseb
re : problème polynômes 04-03-08 à 15:17

Factorise ton résultat (tous facteurs communs, sauf un de chaque)

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 15:32

euh.. ça fait (X(X-1)(X-2)..(X-k+1))*((X+1)(X-k+2)-1) ??

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 15:32

le tout sur k!

Posté par
jeanseb
re : problème polynômes 04-03-08 à 15:38

Pour moi le dernier facteur est: [(x+1) -(x-k+1)]= k

Non?

Posté par
jeanseb
re : problème polynômes 04-03-08 à 15:41

Soit 1/k!. X(X-1)(X-2)..(X-k+2).k = 2$\rm \frac{X(X-1)(X-2)..(X-k+2)}{(k-1)!}

Sauf erreur.

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 16:27

oui c'est bien ça merci,soit Pk-1 ^^ pouvez vous m'expliquer pour la question suivante "utiliser la décomposition dans la base ..."

merci beaucoup

Posté par
anyone
re : problème polynômes 04-03-08 à 19:35

je n'arrive pas a trouver l'image et le noyau ..
j'ai aussi réussi la question 3a. mais je seche pour la 3b.

mercii ^^

Posté par
anyone
algèbre et applications linéaires .. 04-03-08 à 19:41

bonsoir, je seche sur quelques questions d'un problème, si vous pouviez m'aider ..?

Soit n E N*, on considère T:Kn[x]  Kn[X] qui à tout polynome P E Kn[X] associe le poly P(X+1)-P(X)
2) on pose P0=1 et pour tout k E {1,....,n} Pk = [X(X-1)...(X-k+1)] / k!
a. montrer que {P0, .. Pn} est une base de Kn[X]
b. calculer T(Pk) pour tout k E {1,....,n}
c. en déduire Ker(T) et Im(T) (on pourra utiliser la décomposition dans la base {P0, .. Pn}
>> je n'y arrive pas

3) a. calculer pour tout (i;j)E {1,....,n}², Ti(Pj)(0)  (Ti= To...oT) >> je n'y arrive pas
b. en déduire P(X) = k=0n Tk(P)(0).Pk(X)
c. dans le cas où n=5, calculer les coordonnées de X4 dans la  base  {P0, .. ,P5}

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