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Corps de décomposition

Posté par
H_aldnoer 04-03-08 à 20:15

Bonsoir,

un petit problème d'algèbre.
Soit P(X)\in\mathbb{Q}[X] un polynôme de degré 3.
Soient a,b\in\mathbb{C} deux racines distinctes de P(X). Montrer que \mathbb{Q}[a,b] est un corps de décomposition de P(X) puis montrer que b est une racine d'un polynôme de degré 2 à coefficient dans \mathbb{Q}[a].

Alors pour commencer P est un polynôme de degré 3 dans \mathbb{Q}[X]. Il a au plus 3 racines. Si a,b,c sont trois racines de P dans \mathbb{C} alors \mathbb{Q}[a,b,c] est un corps de décomposition de P puisqu'alors P(X)=u(X-a)(X-b)(X-c) pour a,b,c,u dans \mathbb{C}.

On a clairement que \mathbb{Q}[a,b]\subset \mathbb{Q}[a,b,c].
Il faut montrer que c \in \mathbb{Q}[a,b]

Je ne vois pas comment m'y prendre!

Posté par
Hwoarangpre : Corps de décomposition 04-03-08 à 20:20

Bonsoir à toi,

Pour montrer que c est dans [a,b], pense aux relations entre coefficients, racines... La somme des racines s'exprime en fonction de certains coefficients de P qui eut sont dans ...

Posté par
H_aldnoerre : Corps de décomposition 04-03-08 à 20:34

Bonsoir,

J'écris par exemple P(X)=eX^3+fX^2+gX+h où e,f,g,h sont dans \mathbb{Q}.

Le produit u(X-a)(X-b)(X-c) implique -(a+b+c)=f donc -a-b-f=c.

C'est suffisant ?

Posté par
robby3re : Corps de décomposition 04-03-08 à 21:39

je pense que oui,une idée pour la suite?

Posté par
H_aldnoerre : Corps de décomposition 04-03-08 à 21:48

Non je vois pas !
Et toi?

Posté par
robby3re : Corps de décomposition 04-03-08 à 22:41

pas du tout!
c'est pour ça,j'esperais que t'es une idée

Posté par
lolo217re : Corps de décomposition 05-03-08 à 10:56

Q(a)  est une extensionde  Q  de degré =< 3 puisque  a  est racine de P .
Mais  P(X) = u(X-a)(X2+dX+e) est une décompsition de
P dans Q(a[X]  donc  b  est racine d'un polynôme de degré 2 ()(X2+dX+e)  si  a  est différent de  b . Si  a = b c'est vrai aussi.


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