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Niveau Maths sup
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Sous-espaces vectoriels engendrés

Posté par
bababreton
04-03-08 à 22:51

Salut tout le monde, j'ai un petit problème dans le domaine des sous-espaces vectoriels engendrés :

1_ Démontrer Vect(F U G) = F + G
je pars de la définition Vect(F U G) = Vect (F) + Vect (G) mais ça ne me donne rien.

2_ F et G deux sous-espaces d'un espace vectoriel E. Montrer que F U G est un sous espace vectoriel de E si et seulement si (F C G) ou (G C F).

Je vous remercie d'avance pour les indices que vous pourrez m'apporter.

Posté par
romu
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 04-03-08 à 23:31

Salut,

Pour la 1) la définition de \mbox{Vect}(F\cup G) = {combinaisons linéaires de vecteurs de F\cup G}, c'est le sous-espace engendré par F\cup G.

\mbox{Vect}(F)=F car F est un sous-espace, et \mbox{Vect}(G)=G pour la même raison.

Posté par
romu
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 04-03-08 à 23:45

Tu peux te lancer comme ça:

On suppose donc que F et G sont deux sous-espaces d'un espace vectoriel E.


1) tu procèdes par double inclusion;

2) l'implication (\Leftarrow) est immédiate.
Pour l'implication (\Rightarrow), tu peux supposer par exemple que F\subset G,  
   i)  si F=G c'est ok,
   ii) si F\neq G, cela revient à dire qu'il existe a\in G\setminus F et sers-toi de a et de la structure additive de l'espace F\cup G afin de montrer que G\subset F,

et c'est gagné.

Posté par
blang
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 08:28

@romu :


Citation :

2) Pour l'implication (), tu peux supposer par exemple que FG


Je ne comprends pas bien ton raisonnement

On peut plutôt faire un raisonnement par l'absurde en supposant que F \not \subset G et G \not \subset F
Il y a donc un élément a (resp. b) de E qui est dans F (resp. dans G) et pas dans G (resp. dans F):
F \cup G est un sev donc a+b \in F \cup G
Si a+b \in F, b=(a+b)-a \in F car F est un sev
et si a+b \in G, a=(a+b)-b \in G car G est un sev
contradiction...

Posté par
romu
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 10:35

oui pardon, je devais être fatigué, j'aurai du aller me coucher

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 11:26

Bonjour blang et romu

Pour le 2), supposons qu'il existe x dans F\G (F privé de G) et y dans G\F, autrement dit qu'aucun des deux espaces F et G ne contienne l'autre.
Que dire de x+y?

La même démonstration permet de voir que le ce résultat est déjà vrai pour les groupes.

Petite question: blang, es-tu sûr d'avoir pour définition de Vect(FG) l'espace Vect(F)+Vect(G)?
En général, ce n'est pas la définition qu'on en donne, c'en est une propriété.

Tigweg

Posté par
romu
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 12:16

Salut Tigweg, ça fait longtemps

ça ne doit pas être la définition qu'il a, sinon je ne vois pas l'intérêt de l'exo.

Posté par
blang
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 12:38

Citation :
Petite question: blang, es-tu sûr d'avoir pour définition de Vect(F U G) l'espace Vect(F)+Vect(G)?
En général, ce n'est pas la définition qu'on en donne, c'en est une propriété.


Tu confonds avec bababreton, moi je n'ai jamais rien dit de tel.

romu (hier à 23:31) a utilisé une caractérisation correcte de Vect (FG).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 12:50

Oh, en effet, désolé blang!

Citation :
romu (hier à 23:31) a utilisé une caractérisation correcte de Vect (F U G)

->Oui, c'est la définition usuelle

Salut romu, oui ça faisait longtemps!

Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Sous-espaces vectoriels engendrés 05-03-08 à 13:42

blang->Décidément j'étais mal réveillé ce matin, je ne m'étais même pas aperçu que tu avais donné la même solution que moi...avant moi! Encore désolé!

Tigweg



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