Salut tout le monde, j'ai un petit problème dans le domaine des sous-espaces vectoriels engendrés :
1_ Démontrer Vect(F U G) = F + G
je pars de la définition Vect(F U G) = Vect (F) + Vect (G) mais ça ne me donne rien.
2_ F et G deux sous-espaces d'un espace vectoriel E. Montrer que F U G est un sous espace vectoriel de E si et seulement si (F C G) ou (G C F).
Je vous remercie d'avance pour les indices que vous pourrez m'apporter.
Salut,
Pour la 1) la définition de = {combinaisons linéaires de vecteurs de }, c'est le sous-espace engendré par .
car est un sous-espace, et pour la même raison.
Tu peux te lancer comme ça:
On suppose donc que et sont deux sous-espaces d'un espace vectoriel .
1) tu procèdes par double inclusion;
2) l'implication () est immédiate.
Pour l'implication (), tu peux supposer par exemple que ,
i) si c'est ok,
ii) si , cela revient à dire qu'il existe et sers-toi de et de la structure additive de l'espace afin de montrer que ,
et c'est gagné.
@romu :
Bonjour blang et romu
Pour le 2), supposons qu'il existe x dans F\G (F privé de G) et y dans G\F, autrement dit qu'aucun des deux espaces F et G ne contienne l'autre.
Que dire de x+y?
La même démonstration permet de voir que le ce résultat est déjà vrai pour les groupes.
Petite question: blang, es-tu sûr d'avoir pour définition de Vect(FG) l'espace Vect(F)+Vect(G)?
En général, ce n'est pas la définition qu'on en donne, c'en est une propriété.
Tigweg
Salut Tigweg, ça fait longtemps
ça ne doit pas être la définition qu'il a, sinon je ne vois pas l'intérêt de l'exo.
Oh, en effet, désolé blang!
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