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Identifier un endomorphisme quand on connait sa matrice
Bonjour,
je reprends une correction d exercice qua je ne comprends pas:
on me donne
-8/9 4/9 1/9
A= 4/9 7/9 4/9
1/9 4/9 -8/9
je dois identifier l endomorphisme qui a cette matrice dans B base orthonormee
alors comme tA A =Id et que det A=1, on en deduit que f est 1rotation
Apres étude des points invariants AX=X on trouve D= <(1,4,1)>
soit e1 un vecteur unitaire de D
e1=(
2/6, 22/3,2/6)
e2=( 1/2,0,-1/2)
et e3 = (-2/3,1/3,-2/3 ) trouvé avec le produit vectoriel
mais ça là que je ne comprends plus,
on a ensuite,
(f(e2),e2)= -1 et (f(e2),e3)=0
je ne comprends pas d ouca sort
car apres je peux trouver l angle de la rotation, d accord mais ces resultats là je ne les comprends as !
quelqu un peut il m aider?
Bonjour gunsouci,
notons (i,j,k) la base B.
a pour image
(première colonne de A-troisième colonne de A) =
et le produit scalaire de ce vecteur avec
vaut bien
De même pour le deuxième calcul.
Ca va mieux? 
Tigweg
Bonjour
alors comme tA A =Id et que det A=1, on en deduit que f est 1rotation
Pas forcément: ça peut être un vissage
Manifestement on est en vectoriel, donc il n'y a pas de translations.
Vouivoui. De toute évidence...
euh: j ai une autre question:
si D=vect (a,b,c)
comment puis je a coup sur, trouver 1vecteur unitaire de D?
J'imagine qu'on suppose le vecteur (a,b,c) non nul?
Dans ce cas, il te suffit de considérer ce vecteur divisé par sa norme.
Tigweg
et bien c est ce que je pensais pourtant sur ma correction, j ai
D=Vect (1,4,1) et pourtant e1=(2/6, 22/3,2/6)
Voui c'est bien cohérent gunsouci, la norme de(1,4,1) est , et on trouve bien le vecteur que tu appelles e1 en divisant (1,4,1) par
.
Tigweg
pour e2, par contre je prends toujours le meme: j ai deux exemples et c est le meme, alors c est une coincidence ou si jprends
e2=( 1/2,0,-1/2) ca marchera toujours?
non il faut que je prenne e2 vect directeur de l orthogonal de D, non?
Pourquoi dans l'orthogonal?
En fait ce qui fait qu'on n'a pas besoin de modifier e2, c'est le fait que e2 est déjà de norme 1.
non mais mon vecteur e2 comme il doit etre orthogonal a e1 je le prends directeur de D orthogonal non?
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