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Espace vectoriels : généralités
Bonjour,
J'ai un problème pour démarrrer un exercice et voici l'énoncé.
"Soit E un ev et f
L(E) tel que f.f=0(l'application nulle). Montrer que Im f
ker f et que idE+f est un automorphisme dont on calculera la réciproque"
Alors j'ai commencé cet exercice en reprenant les definitions de Im f ( Im f=f<E> )et ker f ( ker f=f^(-1)<{eE}> )
et j'ai mis en place le plan de travail en commençant par prendre un élément de Im f et pour ensuite arriver à ce que cet élément appartienne à ker f.
Mais voila...je ne vois pas comment démarrer. Est-ce qu'il faut ce servir de l'hypothèse f.f=0 pour arriver à ce résultat ou changer mon plan de travail?
Merci d'avance!
Bonjour passetemp 
Ton plan de travail me semble tout-à-fait bien pensé:
Considère y dans Im f, il faut prouver que y est dans Ker f.
y étant dans Im f, que peut-on affirmer?
Tigweg
Im f = {f(x)E/xE}
Dire que y est dans Im f revient à dire que l'antécédent de y est aussi dans E non?
Ca revient à dire que y admet un antécédent x dans E.
(Attention, parler de l'"antécédent" de y n'a pas de sens a priori, certains éléments n'ont pas d'antécédent, d'autres en ont plusieurs.)
Donc comment peut-on écrire y en fonction de x?
il faut donc montrer que f(y)=eE(le neutre de E), or f(y)=f(f(x))=(f.f)(x) et comme f.f=0 alors f(y)=0 et est-ce que 0 est le neutre de E?
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