Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

détermination de 2 polynômes

Posté par
theboss1er
06-03-08 à 17:35

bonjour,

voici 2 exo sur les polynômes :

1) Determiner tous les polynômes de C[X] tq (X+4)*P(X) = X*P(X+1)

2) Determiner tous les polynômes de C[X] tq P(X²) = P(X-1)*P(X+1)

pour le 1):

on ' voit ' que 0 -1 -2 -3 sont racines de P donc deg P >=4 et il s'écrit alors
P(X) = X(X+1)(X+2)(X+3)*A(X) , A(X) dans C[X]

donc en remplaçant dans 1) on a que A(X) = A(X+1) donc que deg A = 0 (car P n'est pas le polynome nul donc A non plus)

ainsi les solutions sont les polynômes de la forme : P(X) = aX(X+1)(X+2)(X+3) avec a € C

qu'en pensez-vous ?

pour le 2) je commence là

merci d'avance

@+

Posté par
disdrometre
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:20

salut

0 est racine de P  car  4P(0)=0 => P(0)=0
-3 est racine de P  car -4P(-3)=0

P(X)=X(X+3)Q(X)
P(X+1)=(X+1)(X+4)Q(X+1)

(X+4)P(X) = (X+4)X(X+3)Q(X)
XP(X+1) = X(X+1)(X+4)Q(X+1)

donc

(X+3)Q(X)=(X+1)Q(X+1)

Q(-1)=0 et Q(-2)=0  =>   Q(X)=(X+1)(X+2)A(X)


(X+3)Q(X)= (X+1)(X+2)(X+3)A(X)
(X+1)Q(X+1)= (X+1)(X+2)(X+3)A(X+1)

=>  A(X)=A(X+1)=>  A(X)=a

OK je suis d'accord avec toi




D.

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:22

Salut à tous

Il ne faudrait pas aussi prendre en compte le fait que les racines puissent être multiples ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:24

Non, oubliez ce que j'ai dit : on l'a montré au passage !

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:26

cool merci

j'essaye le 2 qui me semble tout de mm plus dur...

Posté par
disdrometre
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:37

pour le 2

cas évident  P(X)=1

mais est-ce la seule soluce ?

D.

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:38

0 et 1 marche mais après je vois pas trop où aller...

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 18:44

J'ai peut-être une idée.

Il faut commencer (en supposant P non constant) par remarquer que si z est une racine complexe, alors (z+1)² et (z-1)² sont des racines de P.
De là, essaie de montrer que toutes les racines de P sont de module 1.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 06-03-08 à 19:08

En fait, après mûre réflexion, je crois qu'il n'y pas de solution non constante.
Pour cela, il suffit de montrer que si a est une racine de P, alors on peut trouver une racine de module strictement plus grand (en utilisant ma remarque précédente).

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 13:36

bonjour

si z racine alors (z-1)² et (z+1)² ca d'accord mais en quoi montrer qu'elles sont de module 1 aiderait ? et comment le montrer surtout :s ...

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 13:59

ça permettrai d'avoir que si z est une racine alors (z+1)² et (z-1)² aussi donc ces 3 complexes serait de module 1 ce qui ne peut pas se produire (on peut voir ça par le calcul ou mieux, géométriquement : ça impliquerait que les 3 cercles de rayon 1 et de centres respectifs 0, 1 et -1 se coupent en au au moins point).

Sinon, comme précisé dans mon dernier message, raisonne plutôt ainsi : si z est une racine de P, trouve une racine de P qui est de module strictement plus grand.

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 15:40

ok mais je ne vois pas comment montrer qu'elles sont forcément de module 1 les racines...

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 15:47

En fait, je supposais que les racines étaient de module différent de 1 et je faisait mon raisonnement (c'est-à-dire de trouver une racine de module strictement plus grand) mais je me suis aperçu que je ne me servais même pas de cette hypothèse : en effet, le raisonnement marche quel que soit le module : bref, oublie cette histoire de module et raisonne dans le cas général.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 15:48

Je rappelle que le but est quand même de montrer que le polynôme est nécessairement constant (et donc nul, s'il possède au moins une racine).

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 17:16

il faut factoriser P par z, (z-1)² et (z+1)² et montrer en fait qu'il possède une infinité de racines alors ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 17:23

oui, c'est ce que l'on va montrer (mais inutile de factoriser).

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 17:36

ah.. bon d'accord

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 17:39

OK.
Maintenant, si z est une racine de P, comme fais-tu pour trouver une racine de P de module strictement plus grand ?

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 18:07

aucune idée .... :s

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 18:10

n'oublie pas : si z est racine, alors (z+1)² et (z-1)² sont racines : montre que l'un d'eux est convient.

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 18:21

(z+1)² n'a pas nécessairement un module plus grand que z ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 18:29

pas forcément. ça dépend de z (par exemple : z=-2).

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 19:24

a ok donc il faut montrer que si le module de l'une des (z+1)² et (z-1)² est plus petit alors celui de l'autre est plus grand

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 19:36

Tu peux raisonner directement :

pour te donner l'idée : qu'est-ce qui fait que (z+1)² est de norme plus petite que z, dans le cas z=-2 ?

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 19:44

c'est le fait que ca soit un réel non ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 19:45

non : prends par exemple -2+i

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 20:06

pour l'instant ca ne me saute pas aux yeux, une interprétation géométrique serait-elle possible ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 20:09

Pas vraiment :

autre exemple : si z=2+i, lequel prends-tu ? (z-1)² ou (z+1)² ?

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 20:27

a mais oui ! si la partie réelle est négative c'est (z-1)² si elle est positive c'est (z+1)²

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 20:39

voilà !
Du coup, ça montre que le polynôme a une infinité de racines donc il est nul.

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 20:50

il faut pas montrer qu'elles sont toutes de module 1 ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 20:54

Pour quoi faire ? on a déjà fini.

(Plus haut, j'avais dit de laisser tomber cette histoire de module 1. )
De plus, ce que tu dit ne peut pas se produire : à chaque fois on trouve une racine de module strictement plus grand.

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:04

bah oui c'est pour ca ca me paraissait bizarre

par contre comment ca c'est fini ? l'exercice est fini ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:22

ben oui :

Plus haut, il a été mentionné que les polynômes constants égaux à 0 ou 1 sont solutions de l'équation (ce sont les seuls polynômes constants solution).

Si P n'est pas constant il admet une racine complexe, et l'étude précédente montre que P admet une infinité de racines, donc il est nul ce qui absurde.

Conclusion : les seuls polynômes solutions sont 0 et 1.

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:32

pour ca je suis d'accord mais je ne vois pas où l'on a prouvé qu'il admettait une infinité de racines...

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:35

a si : si z racine alors (z+1)² racine donc ((z+1)²-1)² racine donc (((z+1)²-1)²-1)² racine etc, etc

donc P=0 s'il y a une racine et P=1 sinon

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:36

Citation :
je ne vois pas où l'on a prouvé qu'il admettait une infinité de racines...


Quand on a montré que si z est une racine de P, alors P admet une racine de module strictement plus grand.

Kaiser

Posté par
theboss1er
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:49

Merci beaucoup en tout cas Kaiser

@+

Posté par
kaiser Moderateur
re : détermination de 2 polynômes 09-03-08 à 21:50

Mais je t'en prie !



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !