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Fourier, transformation discrète

   
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re : Fourier, transformation discrète#msg1732805 Posté le 15-03-08 à 00:13
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

ok.
pour la suite, on a bien %3Ce_{j_{0}},%20f_k%20%3E%20=%20\Bigsum_{p=0}^{N-1}e_{j_{0}%20}(p)\bar{f_{k}(p)} ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732807 Posté le 15-03-08 à 00:16
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui
re : Fourier, transformation discrète#msg1732810 Posté le 15-03-08 à 00:21
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc on obtient %3Ce_{j_{0}},%20f_k%20%3E%20=\bar{f_k(j_0)} ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732811 Posté le 15-03-08 à 00:23
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Soit h_{j_0,k}=\frac{1}{\sqrt{N}}exp(-\frac{2i\pi j_0k}{N}) ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732812 Posté le 15-03-08 à 00:25
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui
re : Fourier, transformation discrète#msg1732817 Posté le 15-03-08 à 00:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je calcule l'entropie avec la formule :
Entr[s;B]=-\Bigsum_{j=0}^{N-1}|h_{j_0,k}|^2ln_2|h_{j_0,k}|^2=-\Bigsum_{j=0}^{N-1}\frac{1}{N}ln_2\frac{1}{N}=\Bigsum_{j=0}^{N-1}\frac{ln_2(N)}{N}
re : Fourier, transformation discrète#msg1732818 Posté le 15-03-08 à 00:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

ln_2 étant le logarithme en base 2 ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732819 Posté le 15-03-08 à 00:32
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

La somme peut se simplifier.

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1732820 Posté le 15-03-08 à 00:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc =ln_2(N) ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732822 Posté le 15-03-08 à 00:37
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui
re : Fourier, transformation discrète#msg1732824 Posté le 15-03-08 à 00:39
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Dans le deuxième cas on calcule h_{j_0,k}=%3Ce_{j_{0}},%20e_j%20%3E%20=1 ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732826 Posté le 15-03-08 à 00:45
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

ce n'est pas la peine de les calculer : tu les connais déjà

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1732828 Posté le 15-03-08 à 00:48
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Comment ça ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732831 Posté le 15-03-08 à 00:53
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

En gros, tu veux recalculer les coordonnées des vecteurs d'une base dans cette même base (les coordonnées de \Large{e_{j_{0}}} dans la base \Large{e_{0},e_2,...e_{N-1}} ce ne sont que des 0 sauf la \Large{j_{0}}ème qui vaut 1).

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1732832 Posté le 15-03-08 à 00:56
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok, donc j'ai :
Entr[s;B]=-\Bigsum_{j=0}^{N-1}|h_{j_0,k}|^2ln_2|h_{j_0,k}|^2=-\Bigsum_{j=0}^{N-1}ln_21=0 ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732833 Posté le 15-03-08 à 00:57
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui
re : Fourier, transformation discrète#msg1732834 Posté le 15-03-08 à 00:59
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

C'est bizarre, ne sommes-nous pas censé trouver 1 ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1732835 Posté le 15-03-08 à 01:01
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

euh pourquoi ? (cela dit, je ne suis pas trop calé sur cette histoire d'entropie).

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1732837 Posté le 15-03-08 à 01:04
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'ai vu ce résultat sur le corrigé!
re : Fourier, transformation discrète#msg1732838 Posté le 15-03-08 à 01:13
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

mais attends deux secondes : pour ton message de 00h56, certains termes sont mal définie (dans le cours, vous avez défini que "0ln(0)=0" ?)

Sinon, je ne vois pas.

Autre chose (un détail) : à chaque fois, tu sommes sur j mais la variable qui apparait dans les termes est k.


Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1732839 Posté le 15-03-08 à 01:15
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bon, sur ce, je vais allez !
bonne nuit !

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1732841 Posté le 15-03-08 à 01:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonne nuit!
Je refais ça à tête reposée, et je te dis ou j'en suis.
re : Fourier, transformation discrète#msg1734914 Posté le 16-03-08 à 00:19
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonsoir,

alors je trouve bien 0 pour la dernière entropie, il faut trouver 1!
Ou est l'erreur ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1735371 Posté le 16-03-08 à 11:38
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Salut

Personnellement, je ne vois pas où ça cloche.
Tu n'aurais pas un lien vers le corrigé par hasard ?

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1735391 Posté le 16-03-08 à 11:40
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Voila.

Fourier, transformation discrète
re : Fourier, transformation discrète#msg1735416 Posté le 16-03-08 à 11:45
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Dans ce cas, donnes moi la définition précise de l'entropie qui est donné dans ton cours (parce que le coup du 0ln(0) me chiffonnes un peu).

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1735428 Posté le 16-03-08 à 11:47
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok!
page 55.
re : Fourier, transformation discrète#msg1735507 Posté le 16-03-08 à 12:00
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je ne voudrais pas m'avancer mais il semblerait bien que ça soit une faute de frappe. Avec cette définition, l'entropie est nulle.
Quand tu reverras ton prof, demande le lui.

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1735540 Posté le 16-03-08 à 12:06
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Très bien, je te tient au courant.
Peux tu regarder cette exercice kaiser si tu as le temps ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1735553 Posté le 16-03-08 à 12:08
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

J'ai la même réaction qu'otto : je ne sais pas ce qu'est R*[e].

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1735557 Posté le 16-03-08 à 12:09
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

ni \Large{m_0} d'ailleurs.

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1735676 Posté le 16-03-08 à 12:40
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je viens d'envoyé un message à mon prof, c'est ok!
On trouve bien 0.
re : Fourier, transformation discrète#msg1735681 Posté le 16-03-08 à 12:41
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

OK.
re : Fourier, transformation discrète#msg1738893 Posté le 17-03-08 à 10:26
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

on a E un espace vectoriel de dimension finie n, muni d'un produit scalaire et on a en plus une base orthonormée à notre disposition.
Si x est un élément de E alors x=\Bigsum_{i=1}^{n}<x,u_i>u_i

mais en dimension infinie ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1739496 Posté le 17-03-08 à 18:14
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Salut

En dimension infinie, si on a une base hilbertienne, alors on a la même chose (sauf que la somme est infinie).

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1739683 Posté le 17-03-08 à 19:16
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Il faut nécessairement que la base soit orthonormée dans le cas de la dimension finie ?
re : Fourier, transformation discrète#msg1739719 Posté le 17-03-08 à 19:29
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Il faut nécessairement que la base soit orthonormée dans le cas de la dimension finie ?


si la formule est vraie pour tout x, alors c'est effectivement nécessaire.

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1739771 Posté le 17-03-08 à 19:39
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On prend H un espace de Hilbert séparable.
Une base hilbertienne est un système de vecteurs orthonormés si la dimension de H est finie égale à N.
Soit h dans H et (e_n)_{n\in\mathbb{N}^*} un tel système alors h=\Bigsum_{k=1}^{N-1}<h,e_k>e_k

Une base hilbertienne est un système total sinon.
Soit h dans H et (e_n)_{n\in\mathbb{N}^*} un tel système alors h=\Bigsum_{k=1}^{\infty}<h,e_k>e_k

?
re : Fourier, transformation discrète#msg1739788 Posté le 17-03-08 à 19:43
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Une base hilbertienne est un système total sinon.


Dans les deux cas, c'est total.

Sinon, oui, tout est OK.

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1739801 Posté le 17-03-08 à 19:48
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je n'arrive pas à faire le lien avec la proposition :

E un espace vectoriel de dimension n, muni d'un produit scalaire dont (u_1,...,u_n) est une base orthonormée.
Si x est dans E alors x=\Bigsum_{k=1}^{N}%3Ch,u_k%3Eu_k

On a bien le système de vecteur orthonormée, mais à priori E n'est pas ici un espace de Hilbert séparable.
re : Fourier, transformation discrète#msg1739836 Posté le 17-03-08 à 19:57
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Justement si, mais c'est caché.

Il suffit de considérer le sous ensemble F de E constitués des combinaisons linéaires à coefficients dans le corps \Large{\mathbb{Q}(i)={a+ib,(a,b)\in \mathbb{Q}^2}} des \Large{u_k}.
On voit facilement que c'est un \Large{\mathbb{Q}}-espace vectoriel de dimension 2N donc il est en bijection avec \Large{\mathbb{Q}^{2N}} (car isomorphe) donc cet espace vectoriel est dénombrable (car \Large{\mathbb{Q}} est dénombrable et qu'un produit fini d'ensemble dénombrable est dénombrable).

De plus, \Large{\mathbb{Q}} est dense dans \Large{\mathbb{R}}, donc \Large{\mathbb{Q}(i)} est dense dans \Large{\mathbb{C}} et de là, on montre facilement que l'espace vectoriel F est dense dans E, donc H est séparable.

Kaiser
re : Fourier, transformation discrète#msg1739859 Posté le 17-03-08 à 20:07
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ouf, c'est dur!
Peux tu m'écrire F explicitement stp ?

Sinon, prenons H un hilbert séparable.
Alors tout élément de h s'écrit soit comme
\Bigsum_{k=1}^{N}%3Ch,e_k%3Ee_k ((e_k)_k désigne un système orthonormée, cadre de la dimension finie N)
ou
\Bigsum_{k=1}^{\infty}%3Ch,e_k%3Ee_k ((e_k)_k désigne ici un système total, cadre de la dimension infinie)

C'est bien ça?
re : Fourier, transformation discrète#msg1739937 Posté le 17-03-08 à 20:39
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Ouf, c'est dur!
Peux tu m'écrire F explicitement stp ?


\Large{F=\{\Bigsum_{k=1}^{N}(a_k+ib_{k})u_k,\; (a_1,a_2,...a_N,b_1,b_2,...b_N)\in \mathbb{Q}^{2N}\}}


Tout ce que tu écris ensuite est correct (d'ailleurs, dans ton message de 19h39, tu as fait une faute de frappe : la somme va jusqu'à N et non pas N-1, puisque la dimension vaut N).

Kaiser

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