Fourier, transformation discrète
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Fourier, transformation discrète
Posté le 08-03-08 à 12:29
Posté par 
H_aldnoer H_aldnoer
Bonjour.
Voici un petit problème.
1)Vérifiez que les fonctions)
pour 
forment une base orthonormée relativement au produit scalaire défini par \bar{s_2(k)})
.
Soit
.
2)Calculez les coordonnées_k)
dans cette base orthonormée de la fonction 
définie par =\{1\,si\,k=j_0\\0\,si\,k\neq j_0)
.
3)Que vaut l'entropie de lorsque cette fonction est exprimée dans la base orthonormée _j)
?
4)Que vaut cette entropie lorsque cette même fonction est exprimée dans la base_j)
?
5)La base est-elle "plus intéressante" que la base canonique pour exprimer de manière la plus organisée possible la fonction ?
Je bloque dès la première question!
J'ai\bar{f_2(k)}=exp(\frac{2i\pi k}{N})\bar{exp(\frac{4i\pi k}{N})}=exp(\frac{2i\pi k}{N})exp(-\frac{4i\pi k}{N})=exp(\frac{2i\pi k}{N}-\frac{4i\pi k}{N})=exp(\frac{-2i\pi k}{N})
Je me trompe, ou cela fait 1 ??
Merci!
H_aldnoer H_aldnoerBonjour.
Voici un petit problème.
1)Vérifiez que les fonctions
Soit
2)Calculez les coordonnées
3)Que vaut l'entropie de
4)Que vaut cette entropie lorsque cette même fonction est exprimée dans la base
5)La base
Je bloque dès la première question!
J'ai
Je me trompe, ou cela fait 1 ??
Merci!
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 13:25
Posté le 08-03-08 à 13:25Posté par kaiser kaiser 
Salut à tous
H_aldnoer > pourquoi ce produit serait-il égal à 1 ? (il ne l'est pas)
Kaiser
kaiser kaiser Salut à tous
H_aldnoer > pourquoi ce produit serait-il égal à 1 ? (il ne l'est pas)
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 13:43
Posté le 08-03-08 à 13:43Posté par kaiser kaiser
oups, je me suis trompé : tu as oublié le
.
Du coup, dans la somme, tu va avoir un
.
Kaiser
kaiser kaiser oups, je me suis trompé : tu as oublié le
Du coup, dans la somme, tu va avoir un
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 13:54
Posté le 08-03-08 à 13:54Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Mais ici, on a juste le caractère orthonormal de la famille)
?
Ne faut-il pas prouver que c'est une base?
H_aldnoer H_aldnoerMais ici, on a juste le caractère orthonormal de la famille
Ne faut-il pas prouver que c'est une base?
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 14:02
Posté le 08-03-08 à 14:02Posté par kaiser kaiser
Ce n'est pas la peine. Dans un endroit de ton cours ( normalement, juste après avoir défini ce qu'est une famille orthogonale), tu as une phrase qui te dit qu'une famille orthogonal de vecteurs non nuls est une famille libre.
Mais au fait, 3 choses :
1) tu n'as pas encore montré que la famille était normée
2) tu n'as pas montré que deux vecteurs différents de cette famille sont orthogonaux (mais bon, c'est le même calcul que tout à l'heur)
3) On te demande de montrer que c'est une base mais une base de quel espace ? De})
?
Kaiser
kaiser kaiser Ce n'est pas la peine. Dans un endroit de ton cours ( normalement, juste après avoir défini ce qu'est une famille orthogonale), tu as une phrase qui te dit qu'une famille orthogonal de vecteurs non nuls est une famille libre.
Mais au fait, 3 choses :
1) tu n'as pas encore montré que la famille était normée
2) tu n'as pas montré que deux vecteurs différents de cette famille sont orthogonaux (mais bon, c'est le même calcul que tout à l'heur)
3) On te demande de montrer que c'est une base mais une base de quel espace ? De
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 14:37
Posté le 08-03-08 à 14:37Posté par H_aldnoer H_aldnoer
alors :
1),exp(\frac{2i\pi%20j%20k}{N})>=\frac{1}{N}\Bigsum_{k=0}^{N-1}exp(\frac{2i\pi%20j%20k}{N})\bar{exp(\frac{2i\pi%20j%20k}{N})}=\frac{1}{N}\Bigsum_{k=0}^{N-1}1=\frac{N}{N}=1)
Donc les vecteurs de la famille sont de normes 1.
2)
Ce n'est pas ce que nous avons fait plus haut? Avec
et 
?
3)
On parle du
-espace vectoriel 
. Mais qu'est-ce ?
H_aldnoer H_aldnoeralors :
1)
Donc les vecteurs de la famille sont de normes 1.
2)
Ce n'est pas ce que nous avons fait plus haut? Avec
3)
On parle du
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 14:44
Posté le 08-03-08 à 14:44Posté par kaiser kaiser
1) OK
2) si mais en prenant des indices généraux (cela dit, j'avais bien précisé que c'était le même calcul)
3) Plus généralement si A et B sont deux ensembles, la notation
est l'ensemble des fonctions de A dans B (d'où, par exemple, la notation 
pour les suites à valeurs complexes)
Ici, c'est l'ensemble des fonctions de l'ensemble![\Large{\mathbb{[}0,N-1\mathbb{]}}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{[}0,N-1\mathbb{]}})
à valeurs complexes (qui entre parenthèses est bien un espace vectoriel)
Kaiser
kaiser kaiser 1) OK
2) si mais en prenant des indices généraux (cela dit, j'avais bien précisé que c'était le même calcul)
3) Plus généralement si A et B sont deux ensembles, la notation
Ici, c'est l'ensemble des fonctions de l'ensemble
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 15:06
Posté le 08-03-08 à 15:06Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ok alors pour le 2) tu voulais dire de calculer
où 
et 
sont des indices généraux, mais jouant le rôle de 1 et 2 dans ce calcule ? (ie 
et 
).
Ensuite, on a montré qu'on avait une famille de vecteur orthogonal de vecteur non nul : c'est donc une famille libre. Or nous sommes dans un espace de dimension n, donc c'est une base ?
Le fait que les vecteurs soit de norme 1 n'apporte rien comme indication au caractère libre de cette famille ?
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
Si de plus cette famille est de norme 1, alors c'est une famille orthonormée ?
H_aldnoer H_aldnoerOk alors pour le 2) tu voulais dire de calculer
Ensuite, on a montré qu'on avait une famille de vecteur orthogonal de vecteur non nul : c'est donc une famille libre. Or nous sommes dans un espace de dimension n, donc c'est une base ?
Le fait que les vecteurs soit de norme 1 n'apporte rien comme indication au caractère libre de cette famille ?
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
Si de plus cette famille est de norme 1, alors c'est une famille orthonormée ?
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 15:18
Posté le 08-03-08 à 15:18Posté par kaiser kaiser
Pour le premier point : OK !
oui (si tu sais que cet espace est bien de dimension N)
le fait que cette famille soit normée assure simplement que ces vecteurs sont non nuls (mais bon, on savait déjà qu'elle était non nuls).
OK.
oui
OK.
Kaiser
kaiser kaiser Pour le premier point : OK !
Citation :
Ensuite, on a montré qu'on avait une famille de vecteur orthogonal de vecteur non nul : c'est donc une famille libre. Or nous sommes dans un espace de dimension n, donc c'est une base ?
Ensuite, on a montré qu'on avait une famille de vecteur orthogonal de vecteur non nul : c'est donc une famille libre. Or nous sommes dans un espace de dimension n, donc c'est une base ?
oui (si tu sais que cet espace est bien de dimension N)
Citation :
Le fait que les vecteurs soit de norme 1 n'apporte rien comme indication au caractère libre de cette famille ?
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
Le fait que les vecteurs soit de norme 1 n'apporte rien comme indication au caractère libre de cette famille ?
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
le fait que cette famille soit normée assure simplement que ces vecteurs sont non nuls (mais bon, on savait déjà qu'elle était non nuls).
Citation :
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
OK.
Citation :
Si de plus cette famille est de norme 1, alors c'est une famille orthonormée ?
Si de plus cette famille est de norme 1, alors c'est une famille orthonormée ?
oui
Citation :
(je m'absente kaiser, je repasse avant ce soir)
(je m'absente kaiser, je repasse avant ce soir)
OK.
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 21:40
Posté le 08-03-08 à 21:40Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Bonsoir kaiser.
J'ai "deviné" que cet espace vectoriel était de dimension n.
Mais je n'arrive pas à le démontrer.
H_aldnoer H_aldnoerBonsoir kaiser.
J'ai "deviné" que cet espace vectoriel était de dimension n.
Mais je n'arrive pas à le démontrer.
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 21:47
Posté le 08-03-08 à 21:47Posté par kaiser kaiser
Soit on exhibe une base (la plus simple est celle composée par les fonctions qui sont nulles partout sauf en un point, c'est-à-dire les fonctions qui sont introduites dans la question 2), soit tu dis que l'application qui à f associe le N-uplet (f(0),f(1),...f(N-1)) est un isomorphisme entre cet espace et
(c'est pas dur à montrer).
Kaiser
kaiser kaiser Soit on exhibe une base (la plus simple est celle composée par les fonctions qui sont nulles partout sauf en un point, c'est-à-dire les fonctions qui sont introduites dans la question 2), soit tu dis que l'application qui à f associe le N-uplet (f(0),f(1),...f(N-1)) est un isomorphisme entre cet espace et
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 08-03-08 à 22:28
Posté le 08-03-08 à 22:28Posté par kaiser kaiser
Tout d'abord, c'est clairement linéaire.
Ensuite, pour l'injectivité, on regarde le noyau : f est dans le noyau si et seulement si f(k)=0 pour tout k, mais ça veut exactement dire que f est l'application nulle.
Enfin, pour la surjectivité : si})
est un N-uplet de complexes, on définit la fonction f par =x_k})
pour tout k compris entre 0 et N-1.
f est bien un élément de
et son image par l'application linéaire définie dans mon message précédent est exactement le N-uplet , d'où la surjectivité.
Kaiser
kaiser kaiser Tout d'abord, c'est clairement linéaire.
Ensuite, pour l'injectivité, on regarde le noyau : f est dans le noyau si et seulement si f(k)=0 pour tout k, mais ça veut exactement dire que f est l'application nulle.
Enfin, pour la surjectivité : si
f est bien un élément de
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 13:30
Posté le 10-03-08 à 13:30Posté par H_aldnoer H_aldnoer
(la suite bientôt kaiser! désolé, j'ai pas trop le temps sur l'île en ce moment
)
H_aldnoer H_aldnoer(la suite bientôt kaiser! désolé, j'ai pas trop le temps sur l'île en ce moment
)re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 20:15
Posté le 10-03-08 à 20:15Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Il faut comprendre que tous les vecteurs sont non nuls, ou au moins un non nul ?
H_aldnoer H_aldnoerCitation :
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
Il suffit juste d'avoir une famille de vecteur non nul orthogonal pour que cette famille soit libre ?
Il faut comprendre que tous les vecteurs sont non nuls, ou au moins un non nul ?
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 20:17
Posté le 10-03-08 à 20:17Posté par kaiser kaiser
Salut
non, tous les vecteurs doivent être tous non nuls (de toutes façons, le vecteur nul ne peut faire partie d'aucune famille libre).
Kaiser
kaiser kaiser Salut
Citation :
Il faut comprendre que tous les vecteurs sont non nuls, ou au moins un non nul ?
Il faut comprendre que tous les vecteurs sont non nuls, ou au moins un non nul ?
non, tous les vecteurs doivent être tous non nuls (de toutes façons, le vecteur nul ne peut faire partie d'aucune famille libre).
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 20:27
Posté le 10-03-08 à 20:27Posté par kaiser kaiser
Voyons voir :
on a E un espace vectoriel de dimension finie, muni d'un produit scalaire et on a en plus une base orthonormée à notre disposition.
Si x est un élément de E, comment trouver ses coordonnées dans cette base (qui je le rappelle, est orthonormée) ?
Kaiser
kaiser kaiser Voyons voir :
on a E un espace vectoriel de dimension finie, muni d'un produit scalaire et on a en plus une base orthonormée à notre disposition.
Si x est un élément de E, comment trouver ses coordonnées dans cette base (qui je le rappelle, est orthonormée) ?
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 21:23
Posté le 10-03-08 à 21:23Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Alors je crois qu'il faut l'écrire comme une somme en fonction du produit scalaire des coordonnées de la base orthonormée et de la fonction.
H_aldnoer H_aldnoerAlors je crois qu'il faut l'écrire comme une somme en fonction du produit scalaire des coordonnées de la base orthonormée et de la fonction.
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 23:04
Posté le 10-03-08 à 23:04Posté par kaiser kaiser
Plus précisément, si})
est une telle base orthonormée et x un vecteur de cet espace, x s'écrivant 
dans cette base, que vaut 
?
Kaiser
kaiser kaiser Plus précisément, si
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 23:19
Posté le 10-03-08 à 23:19Posté par kaiser kaiser
Les_k})
sont les coordonnées de la fonction 
dans la base orthonormée _{0\le k\le N-1}})
, donc on a :
Kaiser
kaiser kaiser Les
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 23:23
Posté le 10-03-08 à 23:23Posté par kaiser kaiser
Comment ça pourquoi ? Si tu veux, tu peux mettre i, mais ça ne change rien.
Je ne vois pas ce qui te gêne.
Kaiser
kaiser kaiser Comment ça pourquoi ? Si tu veux, tu peux mettre i, mais ça ne change rien.
Je ne vois pas ce qui te gêne.
Kaiser
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 23:30
Posté le 10-03-08 à 23:30Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ok, ok. Je vois le truc.
Les
s'exprime comme le produit scalaire vu ci-dessus ?
H_aldnoer H_aldnoerOk, ok. Je vois le truc.
Les
re : Fourier, transformation discrète Posté le 10-03-08 à 23:51
Posté le 10-03-08 à 23:51Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Soit
et donc >=\frac{1}{\sqrt{N}}<1,exp(\frac{2i\pi%20j%20k}{N})>)
et on utilise l'expression du produit scalaire avec la somme ?
>=\Bigsum_{k=0}^{N-1}exp(-\frac{2i\pi%20j%20k}{N}))
?
H_aldnoer H_aldnoerSoit
?
re : Fourier, transformation discrète Posté le 11-03-08 à 00:02
Posté le 11-03-08 à 00:02Posté par kaiser kaiser
Fais quand même attention aux différents indices (k est une variable muette ou bien c'est quelque chose que tu fixes).
à plus tard.
Kaiser
kaiser kaiser Fais quand même attention aux différents indices (k est une variable muette ou bien c'est quelque chose que tu fixes).
Citation :
(je dois m'éclipser, à demain!)
(je dois m'éclipser, à demain!)
à plus tard.
Kaiser
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