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Niveau Maths sup
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Equation et base d'une image

Posté par
Skops
08-03-08 à 15:12

Bonjour,

f(x;y)=(x-y;y-2x;x+2y)

Je veux Im(f)
Je prends 3 réels a, b, c et je résous

x-y=a
y-2x=b
x+2y=c

J'arrive à x=a+b et y=b et il faut que je montre que Im(f) est un plan vectoriel
Mais si je somme x et y, j'arrive à x+y= a+2b
Et c'est pas un plan vectoriel

Où est l'erreur ?

Merci

Skops

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:16

Je crois avoir vu l'erreur
Je réessaye

Skops

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:31

en fait non ^^

Skops

Posté par
1 Schumi 1
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:34

Salut Skops,

Et en quoi ce n'est pas un plan vectoriel?

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:38

Ce n'est pas un plan affine ce truc ?

Skops

Posté par
1 Schumi 1
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:40

Oui mais a et b ne sont pas si quelconques que ça.

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:41

bonjour,
x= a+y et y = 2x+b = 2(a+y)+ b d'où y = -2a-b puis x = -a-b
Maintenant la 3ème donne (-a-b) +2(-2a-b) = c soit 5a+3b-c = 0 ce qui ressemble furieusement à l'équation d'un plan.
Sauf erreur de calcul...

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:42

Ah merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:46

Salut

tu as (x-y;y-2x;x+2y) = (x,-2x,x)+(-y,y,2y) = x(1,-2,1)+y(-1,1,2)

Im(f)=Vect((1,-2,1);(-1,1,2))

On montre facilement que: ((1,-2,1);(-1,1,2)) est libre donc base de Im(f) => Im(f) de dimension 2 donc plan vectoriel

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 15:49

La solution de monrow est plus élégante et me permets de rectifier l'équation que j'ai trouvée : 5a+3c+c = 0.

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 16:51

Re

Mais justement, j'avais les deux à donner, base et équation

Skops

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:01

Peut on donner une base de Ker(f) directement ?

Skops

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:10

Que penses-tu de Ker(f) ?

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:14

Je veux dire, dans le cas général

Skops

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:15

Restons dans ce cas précis.

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:18

A part te dire que c'est l'ensemble des couples (x;y) de IR² tels que f(x;y)=0, je vois pas

Skops

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:19

Ici Ker(f) n'a pas de base...

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:20

Comment tu arrives à le voir ? en passant par un système ?

Skops

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:24

En connaissant le cours :  f linéaire de E vers F : dim Im(f) + dim Ker(f) = dim (E)
Ici dim Im(f) = 2 = dim(E) donc dim Ker(f) =0 donc Ker(f) = {(0,0)}.

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:25

Oui ca se voit facilement en fait

Je reviens à ma question

Peut on donner une base de Ker(f) direct ?

Skops

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:25

Desolé, j'ai pas encore vu les dimensions

Skops

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:29

Alors on ne peut que résoudre (x-y,y-2x,x+2y) = (0,0,0).

Posté par
Skops
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:33

Bon je passerai pas  à coté, tant pis

Merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:37

Pour ta question plus générale sur les bases des noyaux (et même des images) tu verras une méthode beaucoup plus belle une fois que tu as fait les matrices

Posté par
dormelles
re : Equation et base d'une image 08-03-08 à 17:38

Si tu veux savoir si la connaissance d'une base de Im(f) suffit pour trouver une base de Ker(f) la réponse est non.



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