Bonjour,
f(x;y)=(x-y;y-2x;x+2y)
Je veux Im(f)
Je prends 3 réels a, b, c et je résous
x-y=a
y-2x=b
x+2y=c
J'arrive à x=a+b et y=b et il faut que je montre que Im(f) est un plan vectoriel
Mais si je somme x et y, j'arrive à x+y= a+2b
Et c'est pas un plan vectoriel
Où est l'erreur ?
Merci
Skops
bonjour,
x= a+y et y = 2x+b = 2(a+y)+ b d'où y = -2a-b puis x = -a-b
Maintenant la 3ème donne (-a-b) +2(-2a-b) = c soit 5a+3b-c = 0 ce qui ressemble furieusement à l'équation d'un plan.
Sauf erreur de calcul...
Salut
tu as (x-y;y-2x;x+2y) = (x,-2x,x)+(-y,y,2y) = x(1,-2,1)+y(-1,1,2)
Im(f)=Vect((1,-2,1);(-1,1,2))
On montre facilement que: ((1,-2,1);(-1,1,2)) est libre donc base de Im(f) => Im(f) de dimension 2 donc plan vectoriel
La solution de monrow est plus élégante et me permets de rectifier l'équation que j'ai trouvée : 5a+3c+c = 0.
En connaissant le cours : f linéaire de E vers F : dim Im(f) + dim Ker(f) = dim (E)
Ici dim Im(f) = 2 = dim(E) donc dim Ker(f) =0 donc Ker(f) = {(0,0)}.
Oui ca se voit facilement en fait
Je reviens à ma question
Peut on donner une base de Ker(f) direct ?
Skops
Pour ta question plus générale sur les bases des noyaux (et même des images) tu verras une méthode beaucoup plus belle une fois que tu as fait les matrices
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