Salut Schumi

Ecris |Fix(g)| comme une somme.

Kaiser

Salut Kaiser,

|Fix(g)| comme une somme?!
Ok, je vais essayer de voir ça.


Ayoub.

_{P.S: Je l'ai peut être pas précisé, mais au cas où ça pourrait servir j'ai le droit aux équations aux classes.}

T'tite question bête (et impertinente!): t'es sûr que ce n'est pas plutôt |F| qu'il faut écrire comme une somme? (et dans un tel cas c'est plutôt évident). Parce que là, |Fix(g)| je vois pas trop comment m'y prendre, d'autant plus qu'on va se retrouver comme une somme... de somme

En fait, pour tout te dire, je n'avais pas lu l'indication, donc fais plutôt ça : exprime |F| de deux manières différentes.

Kaiser

Ah, donc on a déjà clairement .
Je cherche l'autre.

Ah et puis d'une manière analogue: .
Mais bon...

Je suppose qu'après on écrit comme réunion de ses orbites et on se débrouille pour prouver que ?

oui

Kaiser

Ca y est, je crois avoir trouvé!

On vient de prouver que .
D'après l'équation aux classes on a: .

Reste plus qu'à se convaincre que .

Pour cela, on prend un répresentant pour chaque classe d'équivalence (pour l'action de G). On les note ,..., (on a donc ). D'où:



Juste?

Si, c'est bon.

Autre chose : quand je te disais d'écrire |Fix(g)| comme une somme, il fallait "bêtement" écrire



et c'est tout (ensuite intervertir les sommes).

Kaiser

Ah oui effectivement, j'étais loin de me douter que tu me demandais d'écrire un truc pareil.

5 you Kaiser!

Mais je t'en prie !

Te réjouis pas trop vite, il y a la suite qui va bientôt arriver.

Ah ? Je croyais que c'était tout l'exo ! (s'il te plait, ne me dis pas que l'on te demande le nombre de colorations d'un collier à p perles avec c couleurs ! :D)

Kaiser

Comment t'as deviné?

eh zut !
En général, l'application "directe" de la formule de Burnside est justement de compter le nombre de colorations de ce type (il y a également le nombre de colorations du cube avec c couleurs).

Kaiser

une petite précision : la question est donnée tel quel ou bien ?

Kaiser

Non, en fait, dans l'exo qui suit on demande de démontrer le théorème de Polya qui permet de calculer le nombre de schéma de coloriage d'un ensemble X par un ensemble de couleur A. Et on demande d'en déduire "le nombre de colliers diff´erents `a 6 perles que l'on peut faire avec 3 couleurs".

Je ne connaissais pas ce théorème de Polya : que dit-il exactement ? (quel est l'énoncé exact de l'exo).

Kaiser

Admire moi ces beaux exos: .
Niam niam.
Le théorème de Polya est énoncé page 2.

OK, je pensais à une formule plus compliquée : en fait, c'est exactement la formule de Burnside, ce théorème.
Le plus compliqué, maintenant, est de savoir compter le nombre de points fixes.

Par contre, là, je vais déjeuner, mais je reviens tout à l'heure pour la suite de l'exo.

Kaiser

Ok je vais commencer d'ores et déjà à y réfléchir. Je te demande un nain dix si je bloque.