Salut

A priori on travaille dans le R-ev R³ qui est donc de dimension 3.

On a alors une belle propriété qui nous dit qu'une famille de cardinal 3 libre est génératrice (et une famille génératrice de cardinal 3 est libre).

En fait, ici, si (u,v,w) est libre, (u,v,w) forme une base de l'espace (ie trois vecteurs non coplanaires est une base de l'espace).
Or toute base est génératrice par définition. Donc ici, cela suffit de montrer qu'elle est libre.

En revanche fais gaffe à ta définition d'une famille génératrice : il faut aussi que les vecteurs de la famille soit dans l'espace vectoriel étudié (ici c'est trivial mais ça peut parfois amené à des absurdités).

d'accord je comprends mieux merci

dans un autre exercice on me demande si B=(x1,x2) est une base de R^3

x1=(1,1,-1)      x2=(0,2,4)

d'apres le cours  B est une base de E si et ssi

                  B est libre
                  E=Vect(B)


donc je montre que (x1,x2) est libre et R^3=vect(x1,x2)

on sait R^3 est un sev du R-ev

pourtt a,b € R

ax1+bx2=0R^3 je trouve bien a=b=0 et donc (x1,x2) est bien libre

donc R^3=Vect(x1,x2) normalement  B est bien une base de R^3 mais dans correction ce n'est pas une base de R^3

je ne comprends pas

Re

Ce n'est pas possible que ce soit une base de R^3 vu que la famille est de cardinal 2 et que R^3 est de dimension 3 (en tant que R-ev en tout cas)

Bref, je pense cependant que tu n'as pas vu la notion de dimension, on revient donc aux définition.

B est clairement libre, il faut donc montrer qu'elle n'est pas génératrice.
Il s'agit donc de trouver un vecteur qui ne peut pas être une combinaison linéaire de (x1,x2)
Rien de difficile.
On prend par exemple (1,1,1)

Trouve moi un x et y tels que x(1,1,-1)+y(0,2,4)=(1,1,1) ?

C'est la que ça ne va pas :

R^3 sev du R-ev

en fait (x1,x2) est une famille generatrice de R^3

ceci revient a dire

a,b  € R , u € R^3 telque u=ax1+bx2

si on prend u=(3,2,1)

=> (3,2,1)=a(1,1,-1)+b(0,2,4)

ce qui nous donne a=3
                  b=-0,5    
                  b=1

contradiction donc R^3 different de vect(x1,x2) donc (x1,x2) n'est pas generatrice

mais dans le choix des valeurs de u on peu tres bien tomber sur des valeur qui nous arrange ?

bon j'ai une famille (x1,x2) dans R^3 comment je montre que R^3 est engendré par (x1,x2)?

x1=(0,1,3)
x2=(1,-1,1)

C'est totalement impossible, ça voudrait dire et tu viens de montrer que c'était pas possible.

oui mais moi je veux savoir comment montrer  que c'est pas possible  en utilisant la difinition sans passer par le cardinale

Je l'ai fait...

d'accord mais ce que je n'arrive pas a comprendre c'est si par exemple on choisi un vecteur u  telque u=(1,3,3)

donc u=ax1+bx2            x1=(1,1,-1)      x2=(0,2,4)

ce qui nous donne (1,3,3)=a(1,1,-1)+b(0,2,4)  il existe bien  a,b €R telque  a=b=1

donc la famille (x1,x2) est generatrice dans ce cas

Si une famille est génératrice cela veut dire que tous les vecteurs sont combinaisons linéaire de cette famille.

Donc pour montrer qu'une famille n'est pas génératrice il suffit de trouver un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de cette famille non?

oui je suis d'accord mais dans ce cass  il faut traiter tous les vecteurs au cas par cas  et on peut manquer le vecteur qui ne satisfait pas  la CL

vecteur u

on  pourait prendre u=(0,2,3)  u=(0,1,2)  u=(5,6,2) etc  et comme par hazard si on est dans un devoir  on ne vois pas le vecteur u=(1,1,1) qui ne satisfait pas la CL  

je voudrais savoir si il y aurait pas un moyen de traiter tous les vecteurs en meme temps ou bien un moyen de tomber directement sur le vecteur (1,1,1) qui ne satisfait la CL  comment trouver ce vecteur la ?

Pourquoi trouver tous les vecteurs ?? On cherche UN vecteur qui n'est pas combinaison linéaire des deux autres !! Après c'est par tatonnement, moi j'ai pris (1,1,1) parce que ça semblait marcher.

Alors sur son brouillon qu'est-ce qu'on fait? On prend des vecteurs "au pif" et on regarde si on trouve une combinaison linéaire ou non. Et dès qu'on en a un qui n'est pas combinaison linéaire, on le met dans sa copie et on rédige.

et je suppose dans ce cas que dans la question on va me dire: montrer que la famille  n'est pas generatrice .

Non, on peut très bien te dire comme on te l'a dit "La famille est-elle une base?"

Après tu regardes au brouillon. C'est clair qu'elle est libre. Pour que ce soit une base, elle doit être génératrice. Question qu'on se pose alors : L'est-elle ?

Maintenant on réfléchit un peu. R^3 c'est un espace, l'espace qu'on connait bien. On a une famille de deux vecteurs. Peut-on réellement obtenir tous les vecteurs de l'espace rien qu'en combinant ces deux vecteurs? Et là ça fait Tilt ! Il y a un problème, on prend un vecteur de l'espace qui est par exemple orthogonal aux deux de notre famille, comment va-t-on faire pour qu'il soit combinaison linéaire des deux autres? Ce n'est pas possible.
Ou sinon qu'est-ce qu'on se dit? Les deux vecteurs permettent d'engendrer un plan, et tout le reste on l'obtient comment? Il nous manque un troisième vecteur pour avoir une base.

Tout ceci revient à la notion de dimension que tu verras plus tard. R^3 c'est de dimension 3, c'est à dire qu'il faut 3 vecteurs pour pouvoir engendrer tout l'espace, et que bien sur ces vecteurs ne soient pas colinéaires. Une base quoi!
La dimension d'un espace c'est le cardinal d'une de ses base. Et on montrera que toutes les bases d'un espace au final ont le même cardinal.
Donc si on revient à notre espace, il y a une base connue qui est la base canonique qu'on utilise depuis la 1ère pour les repères de l'espace. Elle est formée de 3 vecteurs. Cela veut donc dire que toutes les bases de R^3 seront aussi formées de 3 vecteurs. En l'occurrence la notre n'en a que 2. Ce n'est donc pas une base.