Bonjour

C'est vrai dans n'importe quel espace vectoriel.

Un élément de Vect(A) est combinaison linéaire finie des éléments de A, donc il est dans Vect(a₀,...a_k) où k est le plus grand indice des coefficients non nuls de l'élément considéré.

merci
j'aurai donc une autre question :
Pourquoi n'y aurait-il pas d'élément appartenant à l'espace vectoriel engendré par A s'écrivant sous la forme avec des scalaires non nuls (sauf éventuellement un nombre fini)?

J'ai lu que dans un espace de Hilbert E séparable, si on a une base hilbertienne , il existe des élements de E ne s'écrivant pas comme combinaison linéaire finie des .

je suis à 2 doigts de m'embrouiller là

svp…

pls

Bonjour,
dans un espace de Banach, il n'existe pas de base dénombrable sauf si l'espace est de dimension finie (c'est par exemple une conséquence du théorème de Baire).

Ici, il faut faire attention, ce que l'on entend par base n'est pas la même chose que ce que l'on entend par base hilbertienne.

Une base est un ensemble de vecteurs qui permet de reconstruire tous les autres par combinaison finie, c'est un concept purement algébrique.

Dans une base hilbertienne on a le droit de faire des sommes infinies (on fait alors appel à de la topologie puisqu'une somme infinie est une limite).

d'accord, merci d'avoir souligné la différence entre une base et une base hilbertienne.

Dans le cas d'un espace vectoriel de Hilbert de dim infinie, un vecteur du sous espace vectoriel engendré par une partie dénombrable infinie de vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire infinie de ces vecteurs ou bien, par définition, il s'écrit forcément comme combinaison linéaire finie?

qqn de courageux pour répondre à la dernière question?

C'est une question de terminologie. Moi j'ai toujours noté Vect le sous-espace vectoriel algébrique, et l'énoncé de la question laisse penser que c'est bien de ça qu'il s'agit, mais il faudrait voir dans ton cours.

en fait ce que j'essaie de faire c'est répondre à la question qui se trouve dans mon premier post et dans l'énoncé de l'exo en question, il n'est pas écrit "Vect" mais "espace vectoriel engendré par".
je ne sais pas si il y a une différence. Si ça se trouve, on ne peut même pas faire cette exo sans considérer que tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie de notre partie A.

Je n'ai pas vu d'autre post. Mais là c'est clair; s'ils avaient voulu des sommes infinies ils auraient dit "le sous-espace hilbertien"

le premier de cette page
je pense que vous avez raison

merci et bonne soirée