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Suite infinie d'idéaux

Posté par
fusionfroide 09-03-08 à 17:36

Salut

Propostion :
Soit A un anneau principal. Il n'existe pas de suite strictement croissante infinie d'idéaux de A.

Preuve :

Soit I_1 \subset I_2 \subset I_3 ... \subset I_n \subset I_{n+1} \subset...

Posons I=\cup_{n \ge 1} I_n

I est un idéal de A.

Si x,y \in I, alors :

\exist n_0 \ge 1 tel que x\in I_{n_0}

\exist n_1 \ge 1 tel que y\in I_{n_1}

Si n_1 \ge n_0, alors x-y \in I_{n_1} \subset I

Si n_0 \ge n_1, alors x-y \in I_{n_0} \subset I

De plus, si a \in A, alors xa \in I_{n_0}\subset I

A étant principal, I=(a) pour un certain a \in A

Et là je ne comprends pas pourquoi on dit que : a \in I

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Suite infinie d'idéaux 09-03-08 à 17:38

re

par définition, de (a), c'est le plus petit idéal contenant a, donc ....il contient a.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Suite infinie d'idéaux 09-03-08 à 17:40

hihi merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Suite infinie d'idéaux 09-03-08 à 17:44

Posté par
1 Schumi 1re : Suite infinie d'idéaux 09-03-08 à 18:09

N'y aurait-il pas un pléonasme dans l'énoncé? Je veux parler de "suite strictement croissante infinie".


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