Bonjour

Détermine le rang du système formé par les 3 vecteurs de F (2 ou 3)

Il s'agit de trouver 1 (si rang 3) ou 2 (rang 2) vecteurs indépendants des 3 vecteurs de F  (et indépendants entre eux dans le 2ème cas).

Bonjour mini-mini

1)Montrer que F=G.
Pour ça, appelons u,v,w les vecteurs engendrant F , x et y les vecteurs engendrant G.

On a y= v-w donc y appartient à F.
Pour prouver que x est dans F, x étant non nul, il suffit de prouver que la famille (x,u,v,w) est liée, ce qui revient à montrer que le déterminant de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de x, puis u, puis v, puis w, est nul.

Tout cela prouve que G est inclus dans F.
Comme x et y sont indépendants, dim(G)=2.

On s'aperçoit ensuite que le rang de (u,v,w) est inférieur ou égal à 2, car toutes les matrices (3,3) extraites de la matrice de la famille (u,v,w) ont un déterminant nul.

Le rang de (u,v,w) ne peut pas être strictement inférieur à 2 car ce rang est aussi égal à dim (F), or F contient un espace de dimension 2.

Conclusion: G est inclus dans F et dim(F)=dim(G)=2, donc G=F.

Ainsi (x,y) est une base de F=G.

2)Cela revient à trouver deux vecteurs z et t tels que la famille (x,y,z,t) soit libre.
Un supplémentaire de F sera alors H=Vect(z;t).(En effet la liberté assure que l'intersection de H et de F est réduite au vecteur nul, et le fait qu'on ait une famille libre de 4 vecteurs dans 4^{[/sup] assure que F+H coïncide avec 4[sup]}).

Je te laisse vérifier qu'on peut choisir z=(1;0;0;0) et t=(0;1;0;0).

Tigweg

Le symbole bizarre c'était ⁴, pardon