Forum : sections planes de surfaces :
cylindre et plan

comment fait on pour calculer les coordonées de M qui est l'intersection d'un plan P (dont l'équation du plan est y+z-4=0)et d'un cylindre d'équation x²+y²=4?

excusez moi mais en faite c'est l'intersection avec laxe Oz!merci

Quel est finalement la question ?

M est l'intersection de P avec l'axe Oz ou bien quoi d'autre ?
Que vient faire le cylindre dans tout cela ?

Bonjour (pour commencer)

Tu as donc un plan P d'équation y + z - 4 = 0 et tu veux déterminer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe z.
Tous les points de l'axe z on des coordonnées x et y égales à 0. Il faut donc chercher un point M de coordonnées (0 ; 0 ; Zm) qui vérifie l'équation du plan :
0 + Zm - 4 = 0
A toi de calculer la valeur de Zm ...

Quant au cylindre d'équation x² + y² = 4, il n'a aucun point d'intersection avec l'axe Oz.

Bonjour J-P

on cherche à trouver les coordonnées du point M qui est l'intersection du plan (P) d'équation y+z-4=0 et de l'axe Oz (qui est l'axe d'un cylindre d'équation x²+y²=4)
voilà

Salut Flo08

on a donc zm=4 donc les coordonées de M sont M(0;0;4),est-ce correct?
de plus si on doit donner un vecteur normal n du plan (P) , le vecteur n est colinéaire à l'axe Oz ,non?! donc le vecteur n aurait pour coordonnées n (0;0;4)?!

citation :
le vecteur n est colinéaire à l'axe Oz ,non?!

Non.


P : y+z-4=0
P : x + y + z - 4 = 0

vecteur normal au plan P : (0 ; 1 ; 1)

Sauf distraction.

comment arrivez vous à déterminer comme ça les coordonnées du vecteur normal?
cela vient -il d'une propriété?

Je ne sais pas si cela fait partie du programme de Terminale.
Mais j'ose l'espérer.

citation :
un vecteur normal au plan est un vecteur orthogonal au plan Soit le plan d'équation: ax + by + cz + d = 0 Un vecteur normal de ce plan est donné par (a ; b ; c)

Quant à savoir si on le démontre en Terminale ou si on se contente de le retenir par coeur ...
Je n'en sais rien.

d'accord,je comprend mieux !je vous remercie,la démonstration n'est pas faite en TS.

Maintenant comment je dois m'y prendre pour trouver (strictement positf) , et (2 réels) tel que le vecteur v ( ,,)soit orthogonal à la fois au vecteur i et au vecteur normal n ?

de plus , la norme du vecteur V est 1

2 vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

orthogonalité entre v et n:
0*Alpha + 1*Beta + 1*Delta = 0

orthogonalité entre v et i:
i : {1 ; 0 ; 0}
1*Alpha + 0*Beta + 0*Delta = 0

-->
Alpha = 0
Delta = - Beta
---
|v| = 1
|v|² = 1
Alpha² + Beta² + Delta² = 1
0 + 2.Beta² = 1
Beta = 1/V2

--> v : (0 ; 1/V2 ; -1/V2)
-----
Sauf distraction.

commen savez vous que alpha² + bêta ²+ delta²=1?

et je comprends pas bien comment vous arrivez à déduire les coordonnées de V

vous avez bien trouvé bêta = 1/racine(2)?

Si on connait 2 vecteurs par leurs coordonnées, par exemple:

vecteur s : (A ; B ; C)
vecteur t : (D ; E ; F)

Leur produit scalaire vaut:
vecteur s . vecteur t = A*D + B*E + C*F

Si les 2 vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul.

Donc si vecteur s est ortogonal à vecteur t, on a:
A*D + B*E + C*F = 0
----
En appliquant ce qui précède à l'orthogonalité de v et de n
et ensuite à l'orthogonalité de v et de i, on obtient les 2 équations:

0*Alpha + 1*Beta + 1*Delta = 0
1*Alpha + 0*Beta + 0*Delta = 0

Qui permettent de déduire que:
Alpha = 0    (1)
et que Delta = -Beta (2)
-----
la norme du vecteur V est 1
|v| = 1
|v|² = 1

et |v|² = Alpha² + Beta² + Delta²
---> Alpha² + Beta² + Delta² = 1 (3)
-----
(1), (2) et (3) -->

Alpha² + Beta² + Delta² = 1
0² + Beta² + (-Beta)² = 1
Beta² + Beta² = 1
2.Beta² = 1
Beta = 1/V2

et avec (2) --> Delta = -1/V2
-----
On a donc:
Alpha = 0 (c'était la relation (1))
Beta = 1/V2
Delta = -1/V2
-----
Sauf distraction.

d'accord merci!
on a donc le repère (M;;):
maintenant si on a N(x;y;z),un point du plan P dans le repère (O;;;);on peut donc écrire le vecteur MN sous la forme MN= X+Y  (X et Y )

comment fait on pour exprimer x et y en fonction de X et Y?svp

voilà ce que j'ai trouvé : merci de vérifier mes résultats

dans le plan (O;;;):
le vecteur MN a pour coordonnées (x-0)+(y-0)+(z-4)
soit MN = x+y+(z-4)
De plus,=1/2*
donc dans le plan (M;;) ,le vecteur MN a pour coordonnées x+(y /(1/2))
[=0 dans ce dernier repère donc (z-4)=0]


ainsi on a donc X=x et Y=y*2

bonjour,
quelqu'un pourrais t-il me dire si mon résultat est juste svp?
c'est important!

toujours personne?