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polynomes d'interpolation de Lagrange

Posté par
rouday_s 11-03-08 à 17:00

Bonjour
J'ai besoin d'aide pour un problème.  Il concerne des notions que j'ai moyennement abordé.
J'ai vraiment du mal a avancer donc ca serait sympa de m'aider mercii

Soit n \in \mathbb{N} et soient (x_1, x_2, ..., x_n) et (a_1, a_2, ..., a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} deux n+1-uplets de réels. On suppose les x_i distincts deux a deux.
On cherche à déterminer l'ensemble des polynomes P de degré au plus n tels que P(x_i) = a_i pour tout i, 1 =< i =< n+1

A)Montrer qu'un tel polynome, s'il existe, est unique.
B) montrer que, pour tout K =< n+1, l'ensemble E = {P \in \mathbb{R}_n [X], [1, n+1]\{k}, P(x_i) = 0} est un sous espace vectoriel de \mathbb{R}_n [X]
C) quel est l'unique polynome unitaire de degré n s'annulant en x_2, x_3, ..., x_{n+1} ?
D) Calculer sa valeur x_1
En déduire un polynome prenant les valeurs 0 en x_i , pour tout i \in [2, n+1] et 1 en x_1
E)Déterminer de même pour un indice k fixé, l'unique polynome tel que P(x_i) = 0 pour tout i différent de k et P(x_k) = 1
--------------------------------------------------------------------------------

A) Je ne sais pas si on doit raisonner par l'absurde ou si on doit tout simplement démontrer la formule de Lagrange.
J'ai essayé ceci : Si on suppose 2 éléments P_n et Q_n qui vérifient

P_n(x_i)=Q_n(x_i)=f(x_i),\quad \forall i=0,\ldots,n.
soit R_n=(P_n-Q_n)\in \mathcal{P}_n. Le polynôme R_n admet (n+1) racines qui sont exactement les (x_i)_{0 \leq i\leq n}
puisque
R_n(x_i)=P_n(x_i)-Q_n(x_i)=f(x_i)-f(x_i)=0,\quad \forall i=0,\ldots,n.
R_n admet donc (n+1) racines et R_n\in \mathcal{P}_n, donc
R_n=0 \Longrightarrow P_n=Q_n.
Ainsi est démontré l'unicité du polynome de l'interpolation de Lagrange.....

B)Pour montrer que E est un sous-espace vectoriel de \mathbb{R}_n on doit vérifier que 0 appartient à E. Ensuite on vérifie que E est stable par combinaison linéaire mais je ne vois pas comment faire

Help please

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 11-03-08 à 21:40

quelq un pour m'eclairer SVP

Posté par
perroquetre : polynomes d'interpolation de Lagrange 11-03-08 à 21:49

Bonsoir, rouday_s.

Il faudrait réécrire ta question B parce que tu as dû faire une erreur en la recopiant.

Pour la question C:
c'est le produit des  X-x_i, pour i variant de 2 à n+1

Pour la question D:
Si on note P_1 le polynôme de la question C

P(X)=\frac{P_1(X)}{P_1(x_1)}

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 11-03-08 à 21:59

oui pour la question B j'ai un peu de mal à me relire lol, c'est peut etre bien :
B) montrer que, pour tout K =< n+1, l'ensemble E = {P \in \mathbb{R}_n[X], pour tout i \in [1, n+1]\{k}, P(x_i) = 0} est un sous espace vectoriel de \mathbb{R}_n[X]

Sinon pour la question A je suis HS?
Merci pour ton aide je vais bucher sur le c et d

Posté par
perroquetre : polynomes d'interpolation de Lagrange 11-03-08 à 22:44

Pour la question A: c'est OK

Pour la question B
Il est simple de montrer que ton ensemble K est stable par combinaison linéaire.
Si P(x_i)=0 et si Q(x_i)=0 et si lambda est dans R alors
(\lambda P+Q)(x_i)=0 et ceci pour tout i distinct de k ...

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 13-03-08 à 00:10

j'ai essayé de faire l'exercice mais la question c) me gene je ne comprends pas comment on trouve
que :
''c'est le produit des  X-x_i, pour i variant de 2 à n+1''
merci

Posté par
perroquetre : polynomes d'interpolation de Lagrange 13-03-08 à 11:32

Puisque P s'annule en x_i,  X-x_i divise P.
Donc, le produit des X-x_i divise P (ils sont premiers entre eux)
P est de degré au plus n.
Donc, la division de P par le produit des X_x_i est une constante.
Comme P est unitaire, cette constante vaut 1

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 13-03-08 à 14:15

d'accord je n'avais pas compris qu'ils étaient premiers entre eux.
Encore merci

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 28-03-08 à 23:26

A) Montrer qu'un tel polynome s'il existe est unique.
Soient P, Q deux tels polynomes. Alors deg(P-Q)\le max(degP, degQ)\le n
En outre (P-Q)(x_i) = 0, \forall i \le (n+1)
P-Q est alors un polynome de degré n (au plus) s'annulant en (n+1) points distincts: c est donc le polynome nul.

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 28-03-08 à 23:36

B) montrer que, pour tout k \le n+1, l'ensemble E={P \in \mathbb{R}_n[X], \forall i \in [1, n+1]\{k}, P(x_i) = 0} est un s.e.v de \mathbb{R}_n[X]

0 \in E (évident)
Soient \lambda, \mu \in \mathbb{R}; P, Q \in \mathbb{R}_n[X]. Soit i \le n+1
Alors (\lambda.P+\mu.Q)(x_i) = \lambda.P(x_i) + \mu.Q(x_i) = 0.
Par conséquent, \lambda.P+\mu.Q \in E. Cet ensemble est donc un s.e.v

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 28-03-08 à 23:54

c) Quel est l'unique polynome unitaire de degré n s'annulant en x_2,x_3,...,x_{n+1}?
Soit P_1 un tel polynome. P est necessairement divisible par chacun des (X-x_i). Les x_i étant tous distincts, P est divisible par le produit \prod_{2 \le i \le n+1}(X-x_i), qui est un polynome unitaire de degré n.
Donc P_1 = \prod_{i \le n+1(X-x_i).

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 29-03-08 à 00:02

D) calculer sa valeur en x_1

P_1(x_1) = \prod_{2 \le i \le n+1}(x_1-x_i)\neq 0

En déduire un polynome prenant la valeur 0 en x_i, \forall i \in [2, n+1] et 1 en x_1.

Le polynome Q_1 = \frac{1}{P_1(x_1)}P_1 = (\prod_{2 \le i \le n+1}(x_1-x_i))^{-1}.P_1 vérifie ces deux criteres.

Posté par
rouday_sre : polynomes d'interpolation de Lagrange 29-03-08 à 00:12

E)
On construit de meme pour i quelconque le polynome
P_i = \prod_{j \neq i} (X-x_j) qui s'annule en tous les x_j, hormis x_i, puis le polynome
Q_i = \frac{1}{\prod_{j \neq i} (x_i-x_j)}.\prod_{j \neq i} (X-x_j)
ce polynome vérifie Q_i(x_j) = 0, \forall j \neq i et Q_i(x_i) = 1


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