DM "fonctions" moyennes et inégalités

Posté par Thyr Thyr

Bonjour !

Alors, c'est la première fois que je viens sur ce site, j'espère que je ne vais pas faire de boulettes ^^.

J'ai un exercice des Annales ABC à faire pour la semaine prochaine et j'ai un petit problème...

Le sujet

Partie A

Pour tout réel x > 0 on pose :
f(x)= x-1-ln x
Déduire que pour tout x > 0, on a l'inégalité
ln x   x-1   (1)

Partie B

Soit n un entier superieur ou égal à 2. On donne n nombres réels strictement positifs a₁, a₂, ...,a_net on pose:

u = (a₁+ a₂+ ...+a_n)

v =




Les nombres u, v et w sont respectivement les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique des n nombres a₁, a₂ ...,a_n).

1°) a. En appliquant l'inégalité (1) sucessivement pour :



et en combinant les n inégalités obtenues, montrer que

vu     (2)

    b.Dans quel cas as-t-on v=u ?

2°) a. En remplaçant dans (2) les n nombres  a₁, a₂ ...,a_n par leurs inverses, prouver que.


wv     (3)
    b. Dans quel cas a-t-on w=v ?

_______________________

Partie A :

Ici pas de problème, l'étude de la dérivée montre l'existence d'un extremum et donc f(1) = 0 d'où :
f(x) 0

Partie B

C'est là que pour moi les choses se corsent. Outre que je n'ai jamais vu ce genre de moyennes, je vois pas comment me dépatouiller avec la 1°)...

1°) En appliquant l'inégalité, ça me donne :


,
,
.... ,


Et donc en combinant, je trouve :



Et c'est là que je bloque, je vois pas comment continuer...

Auriez vous une idée ou un petit indice pour m'aider ?

Merci d'avance pour votre réponse.

Thyr

Edit Coll : titre re-dactylographié

Posté par TiT126 TiT126

salut,

f(x) = x-1 - lnx definit pour x > 0

Pour tout x > 0, f'(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

On constate que : f' est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+oo[

Donc f decroit sur ]0;1] puis recroit sur [1;+oo[ donc elle a un minimum en 1, ce qui veut dire que pour tout x > 0, f(x) f(1) = 0

Donc f(x) 0

x-1 - lnx 0

x-1 lnx

Posté par Thyr Thyr

Héhé ! je vais être casse pieds mais la partie A, je n'ai pas de problèmes dessus ^^ C'est pour la partie B que je patauge. (en même temps ça me rassure, il semble que je n'ai pas faits d'erreurs pour l'instant ^^)

Merci quand même !

Posté par TiT126 TiT126

ah oui efféctivement, j'avait pas vu tes reponce je pensait que c'était un autre probléme, je suis d'accord la partie B est nettement plus....hardu ^^, mais je cherche quand même.
Tu pourrait donner la page car on etudie aussi des probléme dans ABC et je le possede donc

Posté par Thyr Thyr

Page 153, le 11. Ce saligaud d'exo 11.

Je trouve toujours pas... Heureusement que c'est pour Lundi...

Posté par marion-64 marion-64

Bonsoir, je suis aussi bloquée à la partie B.
Je ne sais plus quoi faire quand j'arrive à ce stade.
Quelqu'un pourrait m'aider?
merci d'avance